Ідеальний трикутник

Ідеальний трикутник — трикутник у гіперболічній геометрії, всі три вершини якого є ідеальними або нескінченно віддаленими точками. Ідеальні трикутники іноді називають тричі асимптотичними трикутниками, а Їхні вершини — ідеальними вершинами.

Три ідеальних трикутники в моделі Пуанкаре в крузі

Два ідеальних трикутники в моделі Пуанкаре у верхній півплощині

Всі ідеальні трикутники рівні.

Властивості

Ідеальні трикутники мають такі властивості:

• Всі ідеальні трикутники рівні між собою.
• Всі внутрішні кути ідеального трикутника дорівнюють нулю.
• Ідеальний трикутник має нескінченний периметр.
• Ідеальний трикутник є найбільшим можливим трикутником у гіперболічній геометрії.

У стандартній гіперболічній площині (поверхні, де кривина Гауса стала і дорівнює $-1$) ідеальний трикутник також має такі властивості:

• Площа такого трикутника дорівнює π.

Розміри, пов'язані з ідеальним трикутником і вписаним у нього колом, зображені на моделі Бельтрамі — Кляйна (ліворуч) і моделі Пуанкаре в крузі (праворуч)

• Радіус вписаного кола рівний $r=\ln {\sqrt {3}}={\frac {1}{2}}\ln 3\approx 0.549$.

Відстань від будь-якої точки трикутника до його найближчої сторони менша або дорівнює зазначеному вище радіусу, причому точно ця рівність виконується тільки в центрі вписаного кола.

• Вписане коло дотикається до трикутника в трьох точках, утворюючи рівносторонній трикутник зі стороною $d=\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{{\sqrt {5}}-1}}\right)=2\ln \varphi \approx 0.962$, де $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ — золотий перетин.

Коло з радіусом d навколо точки всередині трикутника доткнеться принаймні з двома сторонами трикутника або перетне їх.

• Відстань від будь-якої точки сторони такого трикутника до іншої сторони менша або дорівнює $a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881$, причому точно рівність виконується тільки для згаданих вище точок дотику.

a також є висотою трикутника Швейкарта.

Якщо кривина простору дорівнює $-K$, відмінному від -1, площі вище слід помножити на $1/K$, а довжини і відстані — на $1/{\sqrt {K}}$.

Положення δ-тонкого трикутника на δ-гіперболічному просторі

Оскільки ідеальний трикутник є найбільшим можливим у гіперболічній геометрії, зазначені вище значення є найбільшими можливими для трикутників у гіперболічній геометрії. Цей факт є важливим для вивчення гіперболічного простору.

Моделі

У моделі Пуанкаре в крузі гіперболічної площини, ідеальний трикутник утворений трьома колами, що перетинають граничне коло під прямим кутом.

У моделі Пуанкаре в півплощині ідеальний трикутник має вигляд арбелоса — фігури між трьома дотичними півколами.

У проєктивній моделі ідеальний трикутник — Евклідів трикутник, вписаний у граничне коло. При цьому на проєктивній моделі кути при вершинах ідеального трикутника не дорівнюють нулю, оскільки ця модель, на відміну від моделей Пуанкаре, не зберігає кутів.

Дійсна група ідеального трикутника

Модель Пуанкаре, замощена ідеальними трикутниками

Ідеальна (∞ ∞ ∞) група трикутника

Інше ідеальне замощення

Дійсна група ідеального трикутника — група перетворень, породжена відображеннями гіперболічної площини відносно сторін ідеального трикутника. Як абстрактна група вона ізоморфна вільному добутку трьох груп із двох елементів. Результатом відображень є замощення гіперболічної площини ідеальними трикутниками.

Бібліографія

• Schwartz, Richard Evan. Ideal triangle groups, dented tori, and numerical analysis // Annals of Mathematics : journal. — 2001. — Vol. 153, no. 3 (27 December). — P. 533—598. — arXiv:math.DG/0105264. — DOI:10.2307/2661362.