Ідемпотентний елемент

Ідемпотентний елемент (лат. idem — такий самий, potens — сильний) — в математиці, елемент $\ e$ півгрупи чи кільця, що є рівним своєму квадрату: $\ e^{2}=e$.

Пов'язані визначення

• Два ідемпотентних елементи кільця $\ u$ та $\ v$ називаються ортогональними, якщо $\ uv=vu=0.$

Властивості

• Якщо два ідемпотентні елементи є ортогональними, то їх сума теж буде ідемпотентним елементом.

Приклади

• В моноїді ($\mathbb {N}$, ×) натуральних чисел з множенням, тільки 0 та 1 є ідемпотентними елементами: 0 × 0 = 0 та 1 × 1 = 1.
• В магмі (M, •), єдиними ідемпотентними елементами можуть бути (якщо існують): нейтральний елемент e та абсорбуючий елемент z  : e • e = e, z • z = z.
• В групі (G, •), нейтральний елемент e є єдиним ідемпотентним елементом. Дійсно, досить помножити рівності $x\cdot x=x=x\cdot e$ зліва на $x^{-1}$.

Див. також

• Ідемпотентність

Література

• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)