Ізотоксальна фігура
Многогранник, многокутник або мозаїка є ізотоксальним або реберно-транзитивним, якщо його симетрії діють транзитивно на його ребрах. Неформально це означає, що об'єкт має тільки один вид ребер — якщо дано два ребра, існує паралельне перенесення, поворот і/або дзеркальне відображення, що переводить одне ребро в інше, не змінюючи області, займаної об'єктом.
Термін ізотоксальний походить від грецького τοξον, що означає дуга.
Ізотоксальні многокутники
ред.Ізотоксальний многокутник завжди є рівностороннім, але не всі рівносторонні многокутники ізотоксальні. Многокутники, двоїсті ізотоксальним многокутникам є ізогональними многокутниками.
У загальному випадку ізотоксальный 2n-кутник матиме Dn (*nn) діедричну симетрію. Ромб є реберно-транзитивним многокутником із симетрією D2 (*22).
Всі правильні мнгогокутники (правильний трикутник, квадрат і т. д.) ізотоксальні, маючи подвоєний мінімальний порядок симетрії — правильний n-кутник має Dn (*nn) діедричну симетрію. Правильний 2n-кутник є вершинно-транзитивним многокутником і його вершини можна позначити по черзі двома кольорами, що видаляє осьову симетрію через середину ребер.
| D2 (*22) | D3 (*33) | D4 (*44) | D5 (*55) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ромб | Рівносторонній трикутник | Увігнутий шестикутник | Самоперетинний шестикутник | Опуклий восьмикутник | Правильний п'ятикутник | Самоперетинна (правильна) пентаграма | Самоперетинна декаграма | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Реберно-транзитивні многогранники і мозаїки
ред.Правильні многогранники є ізоедральними (гране-транзитивними), ізогональними (вершинно-транзитивними) і ізотоксальними (реберно-транзитивними). Квазіправильні многогранники є ізогональними й ізотоксальними, але не ізоедральними. Їхні двоїсті многогранники ізоедральні й ізотоксальні, але не ізогональні.
| Квазіправильний многогранник |
Квазіправильний двоїстий многогранник |
Квазіправильний зірчастий многогранник |
Квазіправильний двоїстий зірчастий многогранник |
Квазіправильна мозаїка |
Квазіправильна двоїста мозаїка |
|---|---|---|---|---|---|
 Кубооктаедр є ізогональним і ізотоксальним многогранником |
 Ромбододекаедр є ізоедральним і ізотоксальним многоранником |  Великий ікосододекаедр[en] є ізогональним і ізотоксальним зірчастим многогранником |
 Великий ромбічний тридцятигранник[en] є ізоедральним і ізотоксальним зірчастим многогранником |
 Тришестикутна мозаїка є ізогональною й ізотоксальною мозаїкою |
 Ромбічна мозаїка є ізоедральною й ізотоксальною мозаїкою із симетрією p6m (*632). |
Не будь-який многогранник або 2-вимірна мозаїка, що складаються з правильних многокутників, є ізотоксальними. Наприклад, зрізаний ікосаедр (знайомий нам за футбольним м'ячем) має два типи ребер — шестикутник-шестикутник і шестикутник-п'ятикутник і немає можливості симетрією перевести ребро шестикутник-шестикутник у шестикутник-п'ятикутник.
Ізотоксальний многокутник має такі самі діедричні кути для всіх ребер.
Існує дев'ять опуклих реберно-транзитивних многогранників, утворених із правильних многогранників, 8, утворених з многогранників Кеплера — Пуансо, і ще шість є квазіправильними зірчастими многогранниками (3 | p q) і їх двоїстими.
Існує 5 многокутних реберно-транзитивних мозаїк на евклідовій площині і нескінченно багато на гіперболічній площині, включно з побудовами Візоффа з правильних гіперболічних мозаїк {p, q} і неправильних (p q r) груп.
Див. також
ред.Примітки
ред.Література
ред.- P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom : Cambridge University Press, 1997. — С. 371. — ISBN 0-521-55432-2. Архівовано з джерела 27 лютого 2021
- Grünbaum B., Shephard G.C.[en]. 6.4 Isotoxal tilings // Tilings and Patterns. — New York : W. H. Freeman & Co, 1987. — С. 309—321. — ISBN 0-7167-1193-1.
- Coxeter H. S. M., Longuet-Higgins M. S.[en], Miller J. C. P. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вип. 916 (20 січня). — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — DOI:.