Косоермітова матриця

Квадратна матриця $\ A$ з комплексними елементами називається косоермітовою чи анти-ермітовою (на честь Шарля Ерміта) , якщо вона протилежна до своєї ермітово-спряженої матриці, тобто

$\ A^{*}=-A$

Тобто, $a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$ для всіх елементів матриці $\ A.$

Приклад

${\begin{pmatrix}i&2+i\\-2+i&3i\end{pmatrix}}$

Властивості

• Косоермітова матриця є частковим випадком нормальних матриць.
• Діагональні елементи косоермітової матриці є уявними числами.
• Визначник косоермітової матриці — уявне число.
• Власні значення косоермітової матриці є уявними числами.
• Сума косоермітових матриць є косоермітовою матрицею.
• Обернена матриця до косоермітової, якщо існує, то є косоермітовою матрицею.

Зв'язок з комплексними числами

Довільну квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової та косоермітової матриць:

$A=H_{1}+iH_{2},\qquad H_{1}={\frac {A+A^{*}}{2}},\quad H_{2}={\frac {A-A^{*}}{2i}},$

де:

$\ H_{1}^{*}=H_{1},\;H_{2}^{*}=H_{2}$    — ермітові матриці,

$\ {(iH_{2})}^{*}=-(iH_{2})$    — антиермітова матриця.

Також справедливо, що матриця $\ A$ є нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці $\ H_{1},H_{2}$ переставні:

$A^{*}A=AA^{*}\;\iff \;H_{1}H_{2}=H_{2}H_{1}.$

Вищенаведена властивість вводить аналогію між комплексними числами та нормальними матрицями.

Дивись також

• Теорія матриць
• Ермітова матриця
• Кососиметрична матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)