Відносно компактна множина

У математиці відносно компактною підмножиною $Y$ топологічного простору $X$ називається підмножина, замикання якої є компактною множиною. Множина $Y$ із індукованою топологією також називається відносно компактним підпростором простору $X$. Іноді також використовується термін предкомпактна множина чи простір але ці терміни використовуються і в інших значеннях.

Приклади і властивості

• Оскільки замкнуті підмножини компактного простору є компактними, кожна підмножина компактного простору є відносно компактною.
• У випадку метричної топології або, загалом, коли послідовності можуть бути використані для перевірки на компактність, критерієм відносної компактності є те, що будь-яка послідовність у $Y$ має підпослідовність збіжну в $X$.
• Повний метричний простір є відносно компактним тоді і тільки тоді, коли він є цілком обмеженим.
• Підмножина у скінченновимірному евклідовому просторі $\mathbb {R}$ просторі є відносно компактною тоді і тільки тоді, коли вона є обмеженою.
• У гаусдорфому просторі $X$ підмножина $Y$ є відносно компактною тоді і тільки тоді, коли вона міститься у деякій компактній підмножині простору.

В одну сторону доведення очевидне. Нехай тепер X — гаусдорфів простір і $K$ компактна множина у $X$ для якої $Y\subset K$. Оскільки в гаусдорфових просторах кожна компактна множина є замкнутою то $K$ є замкнутою підмножиною $X$. Оскільки $K$ є замкнутою множиною, що містить $Y$, то ${\bar {Y}}\subset K$. Оскільки кожна замкнута підмножина компактної множини є компактною, то ${\bar {Y}}$ є компактною.

• Окіл особливої точки нескінченного простору з точковмісною топологією може бути компактним, але не є відносно компактним, оскільки його замикання є рівним цілому простору, що не є компактним.
• Теорема Асколі — Арцела. Для того, щоб сім'я ${\mathcal {F}}$  неперервних функцій визначених на відрізку $[a,b]$ була відносно компактною в $C[a,b]$ необхідно і достатньо, щоб ця сім'я була рівномірно обмеженою та рівностепенево неперервною
• У комплексному аналізі велике значення має поняття нормальної сім'ї функцій, яка є відносно компактною множиною функцій щодо компактно-відкритої топології.

Див. також

• Компактний простір

Література

• Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука, 1968 (рос.)