Двостороннє перетворення Лапласа

Двостороннє перетворення Лапласа - інтегральне перетворення, тісно пов'язане з перетворенням Фур'є, перетворенням Мелліна, а також зі звичайним і одностороннім перетворенням Лапласа.

Визначення

Якщо $f(t)$ є дійсною або комплексною функцією дійсної змінної $t\in \mathbb {R}$, то двостороннє перетворення Лапласа ${\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}$ задається формулою

${\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Інтеграл у цьому визначенні мається на увазі невласним і збіжним тоді, коли існують $\left\{{\begin{matrix}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\\\\int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt\end{matrix}}\right.$

Іноді двосторонні перетворення записують у вигляді

${\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Загалом, змінна $t$ може бути як дійсною, так і комплексною величиною.

Зв'язок з іншими інтегральними перетвореннями

• Якщо $u(t)$ - функція Гевісайда, то звичайне перетворення Лапласа ${\mathcal {L}}$ можна виразити через двостороннє формулою

${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}.$

І навпаки: з двостороннього перетворення можна отримати звичайне за формулою

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{{\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s).$

• Перетворення Мелліна можна виразити через двостороннє перетворення Лапласа формулою

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)$

І навпаки: з двостороннього перетворення можна отримати перетворення Мелліна за формулою

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s).$

• Перетворення Фур'є можна визначити через двостороннє перетворення Лапласа формулою

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-is).$

Властивості

Властивості перетворень Лапласа

	Часова область	Одностороння область	Двостороння область
Перша похідна	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	$sF(s)\$
Друга похідна	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	$s^{2}F(s)\$

Література

• Wilbur R. LePage, Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
• van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987