Ділення з остачею

Ділення з остачею (ділення за модулем, ділення націло) — арифметична операція, результатом якої є два числа: частка та остача.

17 = 3 * 5 + 2

Визначення

Поділити з остачею ціле число $\ a$ на натуральне число $\ b>0$ означає подати його у вигляді:

$a=b\cdot q+r,\quad 0\leqslant r<b,\quad q\in \mathbb {Z} .$

$\ q$ — називають неповною часткою,

$\ r$ — остачею від ділення.

Якщо $\ r=0,$ то:

• кажуть, що $\ a$ ділиться на $\ b.$ Позначається $a\,\vdots \,b.$
• $\ b$ є дільником $\ a.$ Визначення дільника відрізняється від визначення дільника в звичайному діленні.

Наприклад, при діленні з остачею $a=17$ на $b=5$ отримаємо неповну частку $q=3$ та остачу $r=2:$

$17=5\cdot 3+2.$

Також можливе ділення з остачею дійсних чисел на додатні дійсні числа.

При діленні на від'ємне число, навіть для цілих чисел, результат не є таким, що інтерпретується однозначно. В теорії чисел прийнято, що $r\geqslant 0,$ в мовах програмування, здебільшого, це не виконується.

У програмуванні

Наприклад, у Паскалі операція mod обчислює остачу від ділення, а операція div обчислює частку:

17 mod 5 = 2
17 div 5 = 3

Див. також

• Модульна арифметика
• Подільність
• Ділення многочленів

Джерела

• Погребиський Й. Б. Арифметика. — Київ : Освіта, 1953.(укр.)