Задача Бернштейна

Задача Бернштейна — задача про графік функції, що є мінімальною поверхнею. Названа на честь Сергія Натановича Бернштейна, який вирішив 2-вимірний випадок цієї задачі в 1914 році.

Задача Бернштейна виявилася тісно пов'язаною з питанням існування негладких мінімальних гіперповерхонь у відповідній розмірності.

Формулювання

За яких $n$ графік функції, визначеної на всьому $\mathbb {R} ^{n}$, що є мінімальною поверхнею в $\mathbb {R} ^{n+1}$, мусить бути плоским?

Відповідь: це правильно при $n\leqslant 7$ і неправильно при $n\geqslant 8$. Відповідний приклад функції $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ можна знайти серед функцій виду

$f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8})=F(u,v)$,

де

$u={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}},\quad {\text{і}}\quad v={\sqrt {x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}}}.$

Зауваження

Задача Бернштейна виявилася прямо пов'язаною з питанням існування в $\mathbb {R} ^{n}$ неплоского конуса, що мінімізує площу. Конкретним прикладом такої гіперповерхні є поверхня

$\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$.