Задача Ґурси

різновид крайової задачі для гіперболічних рівнянь і систем

Зада́ча Ґурси́ — різновид крайової задачі для гіперболічних рівнянь і систем 2-го порядку з двома незалежними змінними за даними на двох характеристичних кривих, які виходять з однієї точки.

Історична довідка

ред.

Задачу названо на честь математика Е. Ґурси. В його «Курсі математичного аналізу» їй присвячено окремий параграф.[1]

Постановка задачі

ред.

Нехай на ділянці   задано гіперболічне рівняння   та крайову умову.

Задача: знайти регулярний на ділянці   і неперервний на замиканні   розв'язок за крайовою умовою.

У «Математичній енциклопедії»[2] крайову умову сформульовано так:

 , де   і   — задані неперервно диференційовні функції.

У підручнику Тихонова, Самарського[3] її сформульовано дещо інакше:

 , де   і   задовольняють умови спряження та диференційовності.

Легко бачити, що це задача з даними на характеристиках рівняння. Вона примітна тим, що для задання розв'язку достатньо двох функцій (порівн. з початково-крайовою задачею).

У «Курсі» Ґурси йдеться про загальніший випадок:

 

Розв'язання

ред.

Існування розв'язку

ред.

Якщо функція   неперервна для всіх   і для будь-яких   допускає похідні  , які за абсолютною величиною менші від деякого числа, то в ділянці   існує єдиний та стійкий розв'язок.

Метод Рімана

ред.

Розглядають лінійний випадок. Початкове рівняння набуває вигляду  .

Вводять функцію Рімана  , яка однозначно визначається як розв'язок рівняння

 ,

що задовольняє умови

 

 

де   — довільна точка.

Розв'язок задачі Ґурси в лінійному випадку в «Енциклопедії» наведено при  

 

Метод послідовних наближень

ред.

Розглядають два випадки.

1.  

Послідовно інтегруючи початкове рівняння, отримують аналітичну формулу

 

З неї випливає існування та єдиність розв'язку цієї задачі.

2.  

Початкове рівняння перетворюють на інтегро-диференціальне рівняння

 

Це рівняння розв'язують методом послідовних наближень. Нульове наближення   підставляють у інтегро-диференціальне рівняння. Результат приймають за перше наближення, яке в свою чергу підставляють у інтегро-диференціальне рівняння і т. д. Так виходить нескінченна послідовність  . Далі доводять збіжність цієї послідовності і знаходять її границю  . Ця границя і є розв'язком задачі.

Примітки

ред.
  1. Э. Гурса. Курс математического анализа, том 3, часть 1. — Москва — Ленинград : Государственное Технико-Теоретическое Издательство, 1933.
  2. А. Б. Иванов. Гурса задача // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М. : Советская энциклопедия, 1977—1985.
  3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — Москва : Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977.