Зв'язна сума

Зв'язна сума — конструкція в топології, яка дозволяє побудувати зв'язний n-вимірний многовид за двома даними зв'язними n-вимірними многовидами.

Зв'язна сума сфери з двома ручками і тора.

Зв'язну суму многовидів $M$ і $N$ зазвичай позначають $M\#N$.

Загальніше, можна також об’єднати многовиди вздовж ідентичних підмноговидів; це узагальнення часто називають волоконною сумою^{[прояснити: ком.]}. Існує також тісно пов'язане поняття в теорії вузлів, називане сумою вузлів або композицією вузлів.

Побудова

Для побудови зв'язної суми $M\#N$ необхідно вирізати з M і N по відкритій кулі і склеїти отримані сферичні краї. Якщо обидва многовиди орієнтовані, то при склеюванні враховується орієнтація. Хоча побудова включає вибір куль, результат унікальний з точністю до гомеоморфізму.

Зв'язну суму можна визначити і в гладкій категорії, тоді результат буде унікальним з точністю до дифеоморфізму.

Приклади

• $S^{n}\#M^{n}$ гомеоморфна $M^{n}$.

Властивості

• Операція зв'язної суми комутативна з точністю до дифеоморфізму; тобто, $M\#N$ дифеоморфна $N\#M$.
• Відносно операції зв'язної суми, гладкі структури на сфері утворюють групу.