Конгруентні матриці

Квадратні матриці $\ A,\;B$ називаються конгруентними, якщо існує невироджена матриця $\ P$, що виконується :

$\ B=P^{T}AP.$

• Відношення конгруентності матриць є відношенням еквівалентності.

Конгруентні матриці виникають під час зміни базису білінійної форми чи квадратичної форми. Дві матриці є конгруентними тоді і тільки тоді, коли вони описують одну і ту ж білінійну форму в різних базисах.

Перехід від одного базису до іншого задається матрицею переходу $\ P.$

Закон інерції Сильвестра

Щоб спростити задання білінійної форми, шукають базис в якому її матриця є діагональною.

Довільна дійсна симетрична матриця є конгруентною до деякої діагональної матриці, при чому, можна обмежитись тільки ортогональними перетвореннями $\ P^{-1}=P^{T}.$

І діагональна матриця буде складатись з власних значень матриці $\ A$ (див. Подібні матриці).

Якщо ж не обмежуватись тільки ортогональними перетвореннями, то можна добитись, що на діагоналі будуть тільки числа -1, 0, +1.

Закон інерції Сильвестра стверджує, що дві дійсні симетричні матриці конгруентні тоді і тільки тоді, коли в них однакова кількість додатних, від'ємних і нульових власних значень.

Дивись також

• Теорія матриць

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)