Модулі ріманової поверхні

Модулі ріманової поверхні — чисельні характеристики (параметри), одні й ті самі для всіх конформно еквівалентних ріманових поверхонь, що разом характеризують конформний клас еквівалентності даної ріманової поверхні.

Мотивація

Необхідною умовою конформної еквівалентності двох плоских областей є однакова зв'язність цих областей. Відповідно до теореми Рімана всі однозв'язні області з більш ніж однією граничною точкою конформно еквівалентні одна одній: кожну таку область можна конформно відобразити на одну й ту саму канонічну область, якою зазвичай розглядають одиничне коло. Для областей зв'язності $n$ , $n>2$ , Точного еквіваленту теореми Рімана не існує: не можна вказати якусь фіксовану область, на яку можна однолисто і конформно відобразити всі області даного порядку зв'язності. Це привело до гнучкішого визначення канонічної $n$ -зв'язної області, що вказує на загальну геометричну структуру цієї області, але не фіксує її модулів.

Приклади

Конформні класи компактних ріманових поверхонь роду $g>1$ характеризуються $6g-6$ дійсними модулями;
тор ( $g=1$ ) характеризується двома модулями;
$n$ -зв'язна плоска область, що розглядається як ріманова поверхня з краєм, при $n>3$ характеризується $3n-6$ модулями;
кожну двозв'язну область $D$ площини $z$ з невиродженими граничними континуумами можна конформно відобразити на деяке кругове кільце