Перша теорема Веєрштрасса

Перша теорема Веєрштрасса доводить обмеженість неперервної функції на відрізку (замкненому проміжку).

У деяких підручниках цю теорему об'єднують із другою теоремою Веєрштрасса в одну «теорему Веєрштрасса»^[1].

Формулювання теореми

Якщо функція $f(x)$ неперервна на відрізку $[a,b]$ , то вона обмежена на цьому проміжку^[2].

Доведення

Доведемо, що функція $f(x)$ обмежена зверху на проміжку $[a,b]$ (обмеженість знизу доводиться аналогічно)^[2].

Припустимо протилежне, тобто, що $f(x)$ не є обмеженою на проміжку $[a,b]$ .

Тоді для будь-якого натурального числа $n$ $(n=1,2,...)$ знайдеться хоча б одна точка $x_{n}$ з проміжку $[a,b]$ така, що $f(x_{n})>n$ (інакше $f(x)$ була б обмежена зверху на проміжку $[a,b]$ ).

Таким чином, існує послідовність значень $x_{n}$ з проміжку $[a,b]$ така, що відповідна їй послідовність значень функції ${f(x_{n})}$ є нескінченно великою. Внаслідок теореми Больцано — Веєрштрасса, з послідовності ${x_{n}}$ можна виділити підпослідовність, яка збігається до точки $c$ , що належить $[a,b]$ . Позначимо цю послідовність символом ${x_{k}}$ , $(k_{n})$ $(n=1,2,...)$ . Внаслідок неперервності функції $f(x)$ у точці $c$ відповідна підпослідовність значень функції ${f(x_{k})}$ має збігатися до ${f(c)}$ . Але це неможливо, оскільки підпослідовність ${f(x_{k})}$ , яку виділено з послідовності ${f(x_{n})}$ , сама є нескінченно великою. Отже, наше припущення про необмеженість хибне.

Теорему доведено.

Зауваження

Для інтервалу (чи півпроміжку) твердження, аналогічне першій теоремі Веєрштрасса, вже хибне, тобто з неперервності функції на інтервалі (півпроміжку) вже не випливає обмеженість цієї функції на вказаній множині.

Наприклад, розглянемо функцію $f(x)=1/x$ на інтервалі $(0,1)$ . Ця функція на вказаному інтервалі неперервна, але необмежена, оскільки існує послідовність точок $x_{n}=1/n$ $(n=2,3,...)$ , які належать вказаному інтервалу, така, що відповідна послідовність значень функції ${f(x_{n})}={n}$ є нескінченно великою.