Прямокутна функція

Прямокутна Функція, одиничний імпульс, прямокутний імпульс, або прямокутне вікно — кусково-стала функція, що визначається як:

Прямокутна Функція

$\mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0,&|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}},&|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1,&|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

Іноді значення функції в точках $\mathrm {rect} (\pm {\tfrac {1}{2}})$ може визначатися як 0 або 1.

Інше визначення Функції через Функцію Гевісайда, $\theta (t)$:

$\mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=\theta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-\theta \left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)$

або по іншому:

$\mathrm {rect} (t)=\theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\theta \left(t-{\frac {1}{2}}\right)$

Властивості

• Інтеграл прямокутної Функції:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\,dt=1$

• Похідна прямокутної функції рівна 0, окрім точок $(\pm {\tfrac {1}{2}})$, де її не існує в класичному розумінні.

Якщо розглядати узагальнені функції по похідна прямокутної функції запишеться через дельта-функцію Дірака:

$\operatorname {rect} \,'(t)=\delta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\delta \left(t-{\frac {1}{2}}\right)$

• Перетворення Фур'є прямокутної Функції

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} {(\pi f)},\,$

для звичайної частоти f, і

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\mathrm {sin} \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {sinc} \left(\omega /2\right),\,$

для кутової частоти ω, де у формулах є ненормалізована версія функції sinc.

дійсно

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}(\mathrm {rect} )(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }{\mathrm {rect} {\rm {e}}^{-{\rm {i}}2\pi ft}\,\mathrm {d} t}\\&=\int _{-1/2}^{1/2}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}2\pi ft}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{-2{\rm {i}}\pi f}}\left[{\rm {e}}^{-{\rm {i}}2\pi ft}\right]_{-1/2}^{1/2}\\&={\frac {1}{2{\rm {i}}\pi f}}\left({\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi f}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\pi f}\right)\\&={\frac {1}{\pi f}}\sin \left(\pi f\right)\\&=\mathrm {sinc} \left(\pi f\right).\end{aligned}}$

• Навпаки для нормованої функції sinc перетворення Фур'є рівне прямокутній функції:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)$,

• Прямокутна функція рівна границі раціональних функції:

$\mathrm {rect} (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}$

• Трикутна функція може бути визначена як згортка двох прямокутних Функцій:

$\mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)\;$

Використання в теорії ймовірностей

Якщо розглядати прямокутну функцію як функцію густини ймовірності, то вона задає окремий випадок неперервного рівномірного розподілу з $a,b=-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}$. Характеристична функція для неї рівна:

$\varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},\,$

а твірна функція моментів:

$M(k)={\frac {\mathrm {sinh} (k/2)}{k/2}},\,$

де $\mathrm {sinh} (t)$ — гіперболічний синус.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Rectangle Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Див. також

• Перетворення Фур'є
• Трикутна функція
• Функція sinc
• Функція Гевісайда