Символ Кронекера — Якобі

В теорії чисел, символ Кронекера — Якобі $\left({\frac {a}{n}}\right)$ чи (a|n), є узагальненням символу Якобі для всіх цілих чисел n.

Визначення

Нехай n — ненульове ціле число, розклад якого на прості множники має вигляд

$u\cdot {p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},$

де u рівне 1 чи −1 і p_i є простими числами. Нехай a — деяке ціле число. Символ Кронекера (a|n) визначається

$\left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.$

Для непарних $p_{i}$, число (a|p_i) рівне символу Лежандра. (a|2) визначається як

$\left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\pmod {2}}\\1&a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}$

(a|u) дорівнює 1 коли u = 1. Коли u = −1, визначення має вигляд

$\left({\frac {a}{-1}}\right)={\begin{cases}-1&a<0,\\1&a\geq 0.\end{cases}}$

Остаточно

$\left({\frac {a}{0}}\right)={\begin{cases}1&a=\pm 1,\\0&a\neq \pm 1.\end{cases}}$

Що визначає значення символу для всіх цілих чисел n.

Властивості

• $\left({\frac {a}{b}}\right)=0$ тоді і тільки тоді, коли $(a,b)\neq 1$ (a і b не є взаємно простими)

• Мультиплікативність: $\left({\frac {ab}{c}}\right)=\left({\frac {a}{c}}\right)\left({\frac {b}{c}}\right)$

• • Зокрема, $\left({\frac {a^{2}b}{c}}\right)=\left({\frac {b}{c}}\right)$

• Періодичність по змінній a: якщо $b>0$, то

• • при $b\not \equiv 2\mod {4}$ період рівний b, тобто $\left({\frac {a+b}{b}}\right)=\left({\frac {a}{b}}\right)$

• • при $b\equiv 2\mod {4}$ період рівний 4b, тобто $\left({\frac {a+4b}{b}}\right)=\left({\frac {a}{b}}\right)$

• Періодичність по змінній b: якщо $a\neq 0$, то

• • при $a\equiv 0;1\mod {4}$ період рівний |a|, тобто $\left({\frac {a}{b+\left|a\right|}}\right)=\left({\frac {a}{b}}\right)$

• • при $a\equiv 2;3\mod {4}$ період рівний 4|a|, тобто $\left({\frac {a}{b+4\left|a\right|}}\right)=\left({\frac {a}{b}}\right)$

Див. також

• Символ Лежандра
• Символ Якобі

Література

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
• Виноградов И. М. Основы теории чисел. — Москва : Наука, 1972.(рос.)

Посилання

• Kronecker symbol на PlanetMath.(англ.)