Суми Вейля — загальна назва тригонометричних сум спеціального виду.
Сумами Вейля є тригонометричні суми виду[ 1]
∑
n
e
2
π
i
f
(
n
)
=
∑
n
cos
[
2
π
f
(
n
)
]
+
i
∑
n
sin
[
2
π
f
(
n
)
]
,
{\displaystyle \sum _{n}e^{2\pi if(n)}=\sum _{n}\cos[2\pi f(n)]+i\sum _{n}\sin[2\pi f(n)],}
де
f
(
n
)
=
a
0
n
k
+
a
1
n
k
−
1
+
.
.
.
+
a
k
{\displaystyle f(n)=a_{0}n^{k}+a_{1}n^{k-1}+...+a_{k}}
многочлен степені
k
{\displaystyle k}
M
≤
n
≤
N
,
n
{\displaystyle M\leq n\leq N,\,\,\,n}
Найпростішою такою сумою є
S
=
∑
n
=
0
m
−
1
e
2
π
i
a
m
n
=
∑
n
=
0
m
−
1
cos
(
2
π
a
m
n
)
+
i
∑
n
=
0
m
−
1
sin
(
2
π
a
m
n
)
,
{\displaystyle S=\sum _{n=0}^{m-1}e^{2\pi i{\frac {a}{m}}n}=\sum _{n=0}^{m-1}\cos({\frac {2\pi a}{m}}n)+i\sum _{n=0}^{m-1}\sin({\frac {2\pi a}{m}}n),}
де
a
,
m
∈
Z
.
{\displaystyle a,m\in \mathbb {Z} .}
a
{\displaystyle a}
m
,
{\displaystyle m,}
S
{\displaystyle S}
S
=
m
;
{\displaystyle S=m;}
S
=
1
+
e
2
π
i
a
m
+
e
2
π
i
2
a
m
+
.
.
.
+
e
2
π
i
(
m
−
1
)
a
m
=
e
2
π
i
a
−
1
e
2
π
i
a
m
−
1
=
1
−
1
⏞
=
0
e
2
π
i
a
m
−
1
=
0.
{\displaystyle S=1+e^{2\pi i{\frac {a}{m}}}+e^{2\pi i{\frac {2a}{m}}}+...+e^{2\pi i{\frac {(m-1)a}{m}}}={\frac {e^{2\pi ia}-1}{e^{\frac {2\pi ia}{m}}-1}}={\frac {\overbrace {1-1} ^{=0}}{e^{\frac {2\pi ia}{m}}-1}}=0.}
Таким чином,
S
=
{
0
,
якщо a не ділиться на m
,
m
,
якщо a ділиться на m
.
{\displaystyle S={\begin{cases}0,\,{\text{якщо a не ділиться на m}},\\m,\,{\text{якщо a ділиться на m}}.\end{cases}}}
Оцінки сум Вейля відіграють важливу роль у багатьох задачах аналітичної теорії чисел . Існує декілька методів оцінки сум Вейля. Найбільш простий та відомий з них - метод Гауса .
↑ Hermann Weyl - Symmetry .
И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука , 1987. 
![{\displaystyle \sum _{n}e^{2\pi if(n)}=\sum _{n}\cos[2\pi f(n)]+i\sum _{n}\sin[2\pi f(n)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c785ae2897ea2d0bd2f02650a3711fbd9f3516f)
