Сферичність

Сферичність — кількісна міра того, наскільки сферичним (круглим) є об'єкт.

Схематичне подання відмінності форм частинок. Показано два параметри: сферичність (що вище фігура, то більша сферичність) і круглість (що правіше фігура, то більша круглість).

Гакон Воделл (H. Wadell) 1935 року визначив сферичність $\Psi$ частинки, як відношення площі поверхні сфери (того ж об'єму, що й дана частинка) до площі поверхні частинки:

$\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}},$

де $V_{p}$ — об'єм частинки, $A_{p}$ — площа поверхні частинки. Сферичність сфери дорівнює одиниці за визначенням, а внаслідок ізопериметричної нерівності сферичність будь-якого іншого тіла менша від одиниці.

Виведення формули

Отже, Виразимо площу поверхні цієї частинки $A_{s}$ через її об'єм $V_{p}$ :

$A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}.$

Тоді вираз сферичності $\Psi$ для довільної частинки, що має площу поверхні $A_{p}$ та об'єм $V_{p}$, набуває вигляду

$\Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}.$

Сферичність $\Psi$ сплюснутого сфероїда дорівнює

$A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2}=36\,\pi V_{p}^{2}.$

Приклади

Еліпсоїдальні об'єкти

$\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={\frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)}}},$

де a і b дорівнюють великій і малій півосям сфероїда.

Сферичність деяких об'єктів

Назва	Малюнок	Об'єм	Площа поверхні	Сферичність
Платонові тіла
Тетраедр		${\frac {\sqrt {2}}{12}}\,s^{3}$	${\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.671$
Куб (гексаедр)		$\,s^{3}$	$6\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.806$
Октаедр		${\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,s^{3}$	$2{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.846$
Додекаедр		${\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(15+7{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{12\left(25+10{\sqrt {5}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.910$
Ікосаедр		${\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$5{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(3+{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{60{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.939$
Тіла з осьовою симетрією
Конус $(h=2{\sqrt {2}}r)$		${\frac {1}{3}}\pi \,r^{2}h$ $={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\pi \,r^{3}$	$\pi \,r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$ $=4\pi \,r^{2}$	$\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.794$
Півсфера		${\frac {2}{3}}\pi \,r^{3}$	$3\pi \,r^{2}$	$\left({\frac {16}{27}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.840$
Циліндр $(h=2\,r)$		$\pi r^{2}h=2\pi \,r^{3}$	$2\pi r(r+h)=6\pi \,r^{2}$	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.874$
Тор $(R=r)$		$2\pi ^{2}Rr^{2}=2\pi ^{2}\,r^{3}$	$4\pi ^{2}Rr=4\pi ^{2}\,r^{2}$	$\left({\frac {9}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.894$
Сфера		${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	$4\pi \,r^{2}$	$1\,$

Див. також

• Ізопериметричне відношення