ред.
Нехай функцію z від змінної w задано рівнянням
f
(
w
)
=
z
{\displaystyle f(w)=z\,}
де f — аналітична в точці a та f '(a ) ≠ 0. Тоді можна подати w у вигляді ряду
w
=
a
+
∑
n
=
1
∞
g
n
(
z
−
f
(
a
)
)
n
n
!
,
{\displaystyle w=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(z-f(a))^{n}}{n!}},}
де
g
n
=
lim
w
→
a
[
d
n
−
1
d
w
n
−
1
(
w
−
a
f
(
w
)
−
f
(
a
)
)
n
]
.
{\displaystyle g_{n}=\lim _{w\to a}\left[{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\left({\frac {w-a}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].}
Теорема стверджує, що цей ряд має не нульовий радіус збіжності в околі
z
=
f
(
a
)
{\displaystyle z=f(a)}
Якщо опустити вимогу аналітичності, формулу можна узагальнити для формальних степеневих рядів .
Теорему довів Лагранж і узагальнив Гансом Бюрман у XVIII столітті .
Якщо f — формальний степеневий ряд, то формула не дає змоги виразити коефіцієнти ряду оберненої функції через коефіцієнти ряду початкової функції. Якщо функції f та g подано формальними степеневими рядами
f
(
w
)
=
∑
k
=
0
∞
f
k
w
k
k
!
,
g
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
g
k
z
k
k
!
,
{\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}},\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}},}
а також f0 = 0 та f1 ≠ 0 , то явну формулу для коефіцієнтів оберненого ряду можна подати через поліноми Белла :
g
n
=
1
f
1
n
∑
k
=
1
n
−
1
(
−
1
)
k
n
(
k
)
B
n
−
1
,
k
(
f
^
1
,
f
^
2
,
…
,
f
^
n
−
k
)
,
n
≥
2
,
{\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{(k)}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\quad n\geq 2,}
де
f
^
k
=
f
k
+
1
(
k
+
1
)
f
1
,
{\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},}
g
1
=
1
f
1
,
{\displaystyle g_{1}={\frac {1}{f_{1}}},}
n
(
k
)
=
n
(
n
+
1
)
⋯
(
n
+
k
−
1
)
,
{\displaystyle n^{(k)}=n(n+1)\cdots (n+k-1),}
зростаючий факторіал .
Алгебричне рівняння степеня p
x
p
−
x
+
z
=
0
{\displaystyle x^{p}-x+z=0}
можна розв'язати з отриманням ряду
x
=
∑
k
=
0
∞
(
p
k
k
)
z
(
p
−
1
)
k
+
1
(
p
−
1
)
k
+
1
.
{\displaystyle x=\sum _{k=0}^{\infty }{pk \choose k}{\frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}.}
За ознаками збіжності отримаємо радіус збіжності |z | ≤ (p − 1)p −p /(p − 1) .
ред.
Ряд Бюрмана — Лагранжа визначається як розклад голоморфної функції
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
ряду Тейлора .
Нехай
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
a
∈
C
{\displaystyle a\in \mathbb {C} }
w
(
a
)
=
0
{\displaystyle w(a)=0}
a
{\displaystyle a}
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
D
∋
a
{\displaystyle D\ni a}
f
{\displaystyle f}
w
{\displaystyle w}
w
{\displaystyle w}
однолиста в
D
¯
{\displaystyle {\overline {D}}}
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
d
n
w
n
(
z
)
,
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}w^{n}(z),}
де коефіцієнти
d
n
{\displaystyle d_{n}}
d
n
=
1
2
π
i
∫
∂
D
f
(
ζ
)
w
′
(
ζ
)
w
n
+
1
(
ζ
)
d
ζ
=
1
n
!
lim
z
→
a
d
n
−
1
d
z
n
−
1
{
f
′
(
z
)
(
z
−
a
)
n
w
n
(
z
)
}
.
{\displaystyle d_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\zeta )w'(\zeta )}{w^{n+1}(\zeta )}}\,d\zeta ={\frac {1}{n!}}\lim _{z\to a}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left\{f'(z){\frac {(z-a)^{n}}{w^{n}(z)}}\right\}.}
Функція
W
(
z
)
{\displaystyle W(z)}
W
(
z
)
e
W
(
z
)
=
z
.
{\displaystyle W(z)e^{W(z)}=z.\,}
Застосуємо теорему для отримання ряду Тейлора для
W
(
z
)
{\displaystyle W(z)}
z
=
0.
{\displaystyle z=0.}
f
(
w
)
=
w
e
w
{\displaystyle f(w)=w\mathrm {e} ^{w}}
a
=
0.
{\displaystyle a=0.}
d
n
d
x
n
e
α
x
=
α
n
e
α
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\ \mathrm {e} ^{\alpha \,x}\,=\,\alpha ^{n}\,\mathrm {e} ^{\alpha \,x}}
Отримаємо
W
(
z
)
=
∑
n
=
1
∞
lim
w
→
0
(
d
n
−
1
d
w
n
−
1
e
−
n
w
)
z
n
n
!
=
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
n
−
1
z
n
n
!
=
z
−
z
2
+
3
2
z
3
−
8
3
z
4
+
O
(
z
5
)
.
{\displaystyle W(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\ \mathrm {e} ^{-nw}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\,=\,\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}\,{\frac {z^{n}}{n!}}=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}
Радіус збіжності ряду дорівнює
e
−
1
{\displaystyle e^{-1}}
Ряд може збігатись і для деяких більших z . Функція
f
(
z
)
=
W
(
e
z
)
−
1
{\displaystyle f(z)=W(e^{z})-1\,}
1
+
f
(
z
)
+
ln
(
1
+
f
(
z
)
)
=
z
.
{\displaystyle 1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.\,}
Тоді
z
+
ln
(
1
+
z
)
{\displaystyle z+\ln(1+z)\,}
f
(
z
+
1
)
=
W
(
e
z
+
1
)
−
1
{\displaystyle f(z+1)=W(e^{z+1})-1\,}
W
(
e
1
+
z
)
=
1
+
z
2
+
z
2
16
−
z
3
192
−
z
4
3072
+
13
z
5
61440
−
47
z
6
1474560
−
73
z
7
41287680
+
2447
z
8
1321205760
+
O
(
z
9
)
.
{\displaystyle W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-{\frac {47z^{6}}{1474560}}-{\frac {73z^{7}}{41287680}}+{\frac {2447z^{8}}{1321205760}}+O(z^{9}).}
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)\,}
ln
x
−
1
{\displaystyle \ln x-1\,}
z .
Розглянемо набір
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
двійкових дерев . Елемент
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
B
n
{\displaystyle B_{n}}
Видалення кореня розбиває двійкове дерево на два дерева меншого розміру. З цього виходить функціональне рівняння на породжувальну функцію
B
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
B
n
z
n
:
{\displaystyle \textstyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}{\text{:}}}
B
(
z
)
=
1
+
z
B
(
z
)
2
.
{\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}.}
Задаючи
C
(
z
)
=
B
(
z
)
−
1
{\displaystyle C(z)=B(z)-1}
C
(
z
)
=
z
(
C
(
z
)
+
1
)
2
.
{\displaystyle C(z)=z(C(z)+1)^{2}.}
ϕ
(
w
)
=
(
w
+
1
)
2
{\displaystyle \phi (w)=(w+1)^{2}}
B
n
=
[
z
n
]
C
(
z
)
=
1
n
[
w
n
−
1
]
(
w
+
1
)
2
n
=
1
n
(
2
n
n
−
1
)
=
1
n
+
1
(
2
n
n
)
.
{\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.}
Отже
B
n
{\displaystyle B_{n}}
n -м числом Каталана .
ред.
У теоремі Лапласа-Ерделі, яка дає асимптотичне наближення для інтегралів лапласового типу, інверсія функції є важливим кроком.
![{\displaystyle g_{n}=\lim _{w\to a}\left[{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\left({\frac {w-a}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f06abce9b98fa534f28de6faceb36a78a13392)
![{\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ba46e7a5afc13aa8efe81f91c521b2a342fd73)