Теорема котангенсів

У тригонометрії, теорема котангенсів пов'язує радіус кола, вписаного у трикутник, з довжиною його сторін. Теорему котангенсів зручно використовувати при розв'язуванні трикутника за трьома сторонами.

Трикутник загального виду

Нехай $a$, $b$ і $c$ — довжини трьох сторін трикутника, $\alpha ,\beta$ і $\gamma$ — кути, що лежать навпроти, відповідно, сторін $a$, $b$ і $c$ відповідно.

Теорема котангенсів стверджує, що якщо

$r={\sqrt {{\frac {1}{p}}(p-a)(p-b)(p-c)}}$ (радіус кола, вписаного у трикутник) і

$p={\frac {a+b+c}{2}}$ (півпериметр трикутника),

то справедливі наступні формули:

$\operatorname {ctg} {\frac {A}{2}}={\frac {p-a}{r}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {B}{2}}={\frac {p-b}{r}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {C}{2}}={\frac {p-c}{r}},$

звідки слідує, що

${\frac {p-a}{\operatorname {ctg} {\tfrac {A}{2}}}}={\frac {p-b}{\operatorname {ctg} {\tfrac {B}{2}}}}={\frac {p-c}{\operatorname {ctg} {\tfrac {C}{2}}}}=r$.

Словами теорему можна сформулювати так: котангенс половинного кута дорівнює відношенню півпериметра мінус довжина протилежної сторони вказаного кута до радіуса вписаного кола.

У сферичній тригонометрії існує схожа формула для половини кута, а також двоїста до неї формула половини сторони.

Див. також

• Розв'язування трикутників
• Теорема синусів
• Теорема косинусів
• Теорема тангенсів