Тетракісгексаедр

Тетракісгексаедр (від дав.-гр. τετράχις — «чотири рази», ἕξ — «шість» і ἕδρα — «грань»), також званий тетрагексаедром або заломленим кубом, — напівправильний многогранник (каталанове тіло), двоїстий зрізаному октаедру. Складений із 24 однакових гострокутних рівнобедрених трикутників, у яких один із кутів дорівнює $\arccos \,{\frac {1}{9}}\approx 83{,}62^{\circ },$ а два інші — $\arccos \,{\frac {2}{3}}\approx 48{,}19^{\circ }.$

Тетракісгексаедр
Тип	каталанове тіло
Граней	24 рівнобедрені трикутники:
Ребер	36
Вершин	14
Діаграма Коксетера
Група симетрії	Oh (октаедрична)
Група обертань	O, [4,3]+, (432)
Площа поверхні	$S={\frac {16{\sqrt {5}}}{3}}a^{2}\approx 11{,}9256959a^{2}$
Об'єм	$V={\frac {32}{9}}a^{3}\approx 3{,}5555556a^{3}$
Двогранний кут (градуси)	$\arccos \left(-{\frac {4}{5}}\right)\approx 143{,}13^{\circ }$
Дуальний многогранник	зрізаний октаедр
опуклий, ізоедральний
Розгортка

Має 14 вершин; у 6 вершинах (розташованих так само, як вершини октаедра) сходяться своїми більшими кутами по 4 грані, у 8 вершинах (розташованих так само, як вершини куба) сходяться меншими кутами по 6 граней.

У тетракісгексаедра 36 ребер — 12 «довгих» (розташованих так само, як ребра куба) і 24 «коротких». Двогранні кути при будь-якому ребрі однакові і дорівнюють $\arccos \left(-{\frac {4}{5}}\right)\approx 143{,}13^{\circ }.$

Тетракісгексаедр можна отримати з куба, приклавши до кожної його грані правильну чотирикутну піраміду з основою, що дорівнює грані куба, і висотою, яка в $4$ рази менша від сторони основи. При цьому отриманий многогранник матиме по 4 грані замість кожної з 6 граней початкового, що й пояснює його назву.

Тетракісгексаедр — одне з трьох каталанових тіл, у яких існує ейлерів шлях.

Метричні характеристики

Якщо «короткі» ребра тетракісгексаедра мають довжину $a$, то його «довгі» ребра мають довжину. ${\frac {4}{3}}a\approx 1{,}33a,$ а площа поверхні та об'єм виражаються як

$S={\frac {16{\sqrt {5}}}{3}}a^{2}\approx 11{,}9256959a^{2},$

$V={\frac {32}{9}}a^{3}\approx 3{,}5555556a^{3}.$

Радіус вписаної сфери (яка дотикається до всіх граней многогранника в їхніх інцентрах) при цьому дорівнює

$r={\frac {2{\sqrt {5}}}{5}}a\approx 0{,}8944272a,$

радіус напіввписаної сфери (що дотикається до всіх ребер)

$\rho ={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}a\approx 0{,}9428090a.$

Описати навколо тетракісгексаедра сферу так, щоб вона проходила через усі вершини, неможливо.

У координатах

Тетракісгексаедр можна розташувати в декартовій системі координат так, щоб його вершини мали координати $(\pm 2;\;\pm 2;\;\pm 2),$$(\pm 3;\;0;\;0),$$(0;\;\pm 3;\;0),$$(0;\;0;\;\pm 3).$

Початок координат $(0;0;0)$ буде при цьому центром симетрії многогранника, а також центром його вписаної та напіввписаної сфер.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Тетракісгексаедр(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.