Унітарне перетворення

Унітарне перетворення — це ізоморфізм між двома Гільбертовими просторами. Інакше кажучи, унітарне перетворення - це бієкція

$U:H_{1}\to H_{2}\,$

де $H_{1}$ та $H_{2}$ - Гільбертові простори, така, що

$\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle$

для всіх $x$ та $y$ в $H_{1}$. Унітарне перетворення є ізометрією, що можна побачити, підставивши в цю формулу $x=y$.

У випадку, коли $H_{1}$ та $H_{2}$ є одним і тим самим простором, унітарне перетворення - автоморфізм цього Гільбертового простору, і тоді воно також називається унітарним оператором.

Тісно пов'язаним із цим поняттям є поняття антиунітарного перетворення, тобто бієкції

$U:H_{1}\to H_{2}\,$

між двома комплексними Гільбертовими просторами, такої, що

$\langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle$

для всіх $x$ та $y$ в $H_{1}$, де горизонтальною рискою позначене комплексне спряження.

Див. також

• Унітарна матриця

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)