Фактор Гамова

Фактор Гамова або Фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова , закон, названий на честь його відкривача Джорджа Гамова, що описує ймовірність подолання двома частинками кулонівської блокади для проходження ядерної реакції, наприклад для реакції термоядерного синтезу. В класичній фізиці проходження протонами кулонівського бар'єру за температур, що зазвичай зустрічаються, наприклад, на сонці, є неможливим (температури, при яких відбувається термоядерний синтез). Проте, як з'ясував Георгій Гамов, в рамках квантовомеханічного підходу існує значна імовірність квантового тунелювання крізь бар'єр, і таким чином, протікання реакцій ядерного синтезу.

Ймовірність для двох частинок, що беруть участь в реакції, подолати електростатичні бар'єри один одного визначається наступним рівнянням:

$P_{g}(E)=e^{-{\sqrt {\frac {E_{g}}{E}}}}$

де $E_{g}$ — енергія Гамова,

$E_{g}\equiv 2m_{r}c^{2}(\pi \alpha Z_{a}Z_{b})^{2}$

Тут, $m_{r}={\frac {m_{a}m_{b}}{m_{a}+m_{b}}}$ — зведена маса двох частинок. $\alpha$ — стала тонкої структури, $c$ — швидкість світла, а $Z_{a}$ and $Z_{b}$ — відповідно атомний номер кожної частинки. В той час як імовірність проходження кулонівського бар'єру швидко зростає пропрційно енергії частинки, імовірність наявності в частинки необхідної енергії дуже швидко зменшується згідно розподілу Максвела-Больцмана. Гамов визначив, що з сукупності цих еффектів випливає те, що для будь-якої заданної температури частинок, що зливаються, в основному знаходяться у вузькому інтервалі енергій, параметри якого залежать від температури. Цей інтервал відомий як вікно Гамова.

Виведення

Гамов першим винайшов розв'язок для одновимірного випадку тунелювання використовуючи квазікласичне наближення. Розглядаючи хвильову функцію частинки маси m, приймаючи за область 1 зону, де частинка утворилася, область 2 — за потенціальний бар'єр висотою V та шириною l ($0<x<l$), і 3-тя область — протилежний бік бар'єру, куди прибуває хвиля, що частково відбиваючися від бар'єру, частково проходячи його. Для хвильового числа k та енергії E отримуємо:

$\Psi _{1}=Ae^{i(kx+\alpha )}e^{-i{\frac {E}{\hbar }}t}$

$\Psi _{2}=B_{1}e^{-k'x}+B_{2}e^{k'x}$

$\Psi _{3}=(C_{1}e^{-i(kx+\beta )}+C_{2}e^{i(kx+\beta ')})e^{-i{\frac {E}{\hbar }}t}$

де $k={\sqrt {2mE}}$ та $k'={\sqrt {2m(V-E)}}$. Розв'язки отримуються для визначенних A та α в якості граничних умов задають умови на початку та кінці бар'єру, при $x=0$, та при $x=l$, де обидві $\Psi$ та їхні похідні мають приймати однакові значення з обох боків. Для $k'l\gg 1$, можна легко отримати розв'язки відкинувши члени, що залежать від часу. Тоді в якості розв'язків отримаємо експоненту з показниками ступеня від $1$ до ${\frac {k}{k'}}={\sqrt {\frac {E}{V-E}}}$ (допускається, що вони приймають малі значення, оскільки V набагато більше E):

$B_{1},B_{2}\approx A$

$C_{1},C_{2}\approx {\frac {1}{2}}A\cdot {\frac {k'}{k}}\cdot e^{k'l}$

Наступним кроком був розгляд Гамовим одновимірного випадку симетричного альфа-розпаду, як модель стоячої хилі, що знаходиться між двома потенцільними бар'єрами: $q_{0}<x<q_{0}+l$ та $-(q_{0}+l)<x<-q_{0}$, та випускає хвилі з обох сторін бар'єру. В якості рішення можна взяти розв'язок першої проблеми з зсувом $q_{0}$ та поєднати його з розв'язком симетричним відносно $x=0$.

Завдяки симетрії задчі, хвилі з обох кінців мають однакові амплітуди (A), але їх фази (α) можуть бути різними. Це додає в розв'язок один додатковий параметр; однак, для «зшивання» розв'язків при $x=0$ необхідне задання двох граничних умов (для хвильової функції та її похідної), а отже загального розв'язку не існує. Зокрема, якщо переписати $\Psi _{3}$ (після зсуву на $q_{0}$) як суму косинуса і синуса з аргументом $kx$, з різними множниками, що залежать від k та α, через симетрію системи відносно початку координат, множник з синусом має занулятися. Оскільки множник в загальному випадку комплексний (отже його занулення накладає дві граничні умови), це в згальному випадку можна зробити додаючи уявний параметр для k, що дає нам необхідний додатковий параметр. Таким чином, E також буде мати уявну частину.

Фізичний зміст цього розв'язку в тому, що стояча хвиля посередині затухає; в той час як амплітуди хвиль, що випускаються з країв бар'эру стають все меншими з часом але зростають з відстанню. Константа затухання λ, вважається малою в порівнянні з $E/\hbar$.

Величину λ можна оцінити без отримання явного рішення, зазначивши її вплив на закон збереження струму ймовірності. При «перетканні» ймовірності від центру до країв, отримаємо:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{-(q_{0}+l)}^{(q_{0}+l)}\Psi ^{*}\Psi dx=2\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{1}^{*}{\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}-\Psi _{1}{\frac {\partial \Psi _{1}^{*}}{\partial x}}\right),$

Коефіцієнт 2 пов'язаний з тим, що ми розглядаємо одразу дві випущені хвилі.

Враховуючи $\Psi \sim e^{-\lambda t}$, отримуємо:

$\lambda \cdot {\frac {1}{4}}\cdot 2(q_{0}+l)A^{2}{\frac {k'^{2}}{k^{2}}}\cdot e^{2k'l}\approx 2{\frac {\hbar }{m}}A^{2}k,$

Оскільки квадратичним показником в $k'l$ можна знехтувати на фоні експоненційної залежності, можемо записати:

$\lambda \approx {\frac {\hbar k}{m(q_{0}+l)}}{\frac {k^{2}}{k'^{2}}}\cdot e^{-2k'l}$

Пам'ятаючи про додану до k уявну частину, та враховуючи, що вона набагато менша дійсної частини, можемо нею знехтувати і отримати:

$\lambda \approx {\frac {\hbar k}{m2(q_{0}+l)}}\cdot 8{\frac {E}{V-E}}\cdot e^{-2{\sqrt {2m(V-E)}}l/\hbar }$

Враховуючи що ${\frac {\hbar k}{m}}$ — швидкість частинки, отже перший множник — це класична швидкість, з якою частинка, що знаходиться між бар'єрами налітає на них.

Нарешті, переходячи до тривимірної проблеми, сферично-симетричне рівняння Шредінгера має наступний вигляд (розкладаючи хвильову функцію $\psi (r,\theta ,\phi )=\chi (r)u(\theta ,\phi )$ по сферичним гармонікам і залишаючи лише n-ий доданок):

${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{d\chi }{dr}\right)=\left(V(r)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {n(n+1)}{r^{2}}}-E\right)\chi$

Оскільки $n>0$ означає збільшення потенціалу, і, як наслідок, значне зменшення швидкості затухання (з врахуванням експоненціальної залежності від ${\sqrt {V-E}}$), ми приймаємо $n=0$, і отримуємо задачу аналогіну до попередньої з $\chi (r)=\Psi (r)/r$, за виключенням того, що тепер функція від r не східчаста.

Головний вплив на амплітуди полягає в тому, що тепер ми повинні замінити аргумент в показнику експоненти, беручи інтеграл від $2{\sqrt {2m(V-E)}}/\hbar$ по відстані, де $V(r)>E$. Для кулонівського потенціалу:

$V(r)={\frac {z(Z-z)k_{e}e^{2}}{r}}$

де $k_{e}$ — кулонівська константа, e — заряд електрона, z = 2 заряд альфа-частинки, а Z — заряд ядра (Z-z після випускання частинки). Межі інтегрування в цьому випадку $r_{2}={\frac {z(Z-z)k_{e}e^{2}}{E}}$, допускаючи, що енергія ядерного потенціалу все ще відносно мала, та $r_{1}$, на якому ядерний потенціал приймає великі від'ємні значення так, що загальний потенціал значно менший за E. Отже, аргумент експоненти у виразі для λ дорівнює:

$2{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {{\frac {V(r)}{E}}-1}}\,dr=2{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {{\frac {r_{2}}{r}}-1}}\,dr$

Тут розв'язки отримуються завдяки підстановці $t={\sqrt {r/r_{2}}}$ та $t=cos(\theta )$ і розв'язку відносно θ, що дає в результаті:

$2\cdot r_{2}{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\cdot (\cos ^{-1}(x)-{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}})=2{\frac {{\sqrt {2m}}z(Z-z)k_{e}e^{2}}{\hbar {\sqrt {E}}}}\cdot (\cos ^{-1}(x)-{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}})$

де $x=r_{1}/r_{2}$. Оскільки x приймає малі значення, множник залежний від x має порядок 1.

Гамов зробив припущення, що $x\ll 1$, отже замінюючи залежний від x множник на $\pi /2$, отримуємо: $\lambda \sim e^{-{\sqrt {\frac {E_{g}}{E}}}}$ з:

$E_{g}={\frac {2\pi ^{2}m\left[z(Z-z)k_{e}e^{2}\right]^{2}}{\hbar ^{2}}}$

що дублює формулу, наведену на початку статті з врахуванням, що $Z_{a}=z$, $Z_{b}=Z-z$ та $\alpha ={\frac {k_{e}e^{2}}{\hbar c}}$.

Для альфа-розпаду радію, Z = 88, z = 2 і m = 4m_p, E_G складає приблизно 50 GeV. Гамов розрахував, що кутовий коефіцієнт $\log(\lambda )$ відносно E в околі 5 MeV складає ~10¹⁴ джоуль⁻¹, порівняно з експериментальним значенням $0.7\cdot 10^{14}$ joule⁻¹.

Посилання

• Modeling Alpha Half-life (Georgia State University) [Архівовано 12 листопада 2020 у Wayback Machine.]