Ядро та образ лінійного оператора

В лінійній алгебрі і функціональному аналізі для лінійного оператора $\ L:V\to W$

Ядром лінійного оператора називається наступна підмножина $\ V$:

$\ker {(L)}=\{v\in V:\;L(v)=0\}$

вона утворює лінійний підпростір в просторі $\ V.$

Образом лінійного відображення називається наступна підмножина $\ W$:

$\operatorname {im} (L)=\{w\in W:\;w=L(v),v\in V\}$

вона утворює лінійний підпростір в просторі $\ W.$

Ядро оператора ще називають нуль-простором оператора і позначають: $\operatorname {null} (L).$

Властивості

• Два елементи з V мають однаковий образ в W тоді і тільки тоді коли їх різниця належить ядру L:

$L(v)=L(w)\quad \iff \quad (v-w)\in \ker {(L)}.$

Тобто образ L є ізоморфним до фактор-простору в V утвореного ядром:

${\text{im}}(L)\cong V/\ker(L){\text{.}}$

(див. Першу теорему про ізоморфізми для лінійних просторів).

• Якщо в V визначений скалярний добуток, тоді V / ker(L) може бути представленим як ортогональне доповнення до ker(L) в V.

Простори скінченної розмірності і матриці

Коли V та W є просторами скінченної розмірності n та m відповідно, тоді в них можна вибрати базиси і задати лінійний оператор L множенням на матрицю A розміру m-на-n: $v\mapsto \mathbf {A} v.$

Визначення ядра матриці записується як $\ker {(\mathbf {A} )}=\{x\in V:\;\mathbf {A} x=0\}$, тобто еквівалентно множині розв'язків однорідної СЛАР.

Rank-nullity теорема

Між розмірностями образу і ядра існує наступне співвідношення (rank-nullity theorem):

$\dim(\ker {L})+\dim(\operatorname {im} {\,L})=\dim(V)$

Число $\dim(\operatorname {im} {\,L})$ називається рангом $\ L$ і записується як $\operatorname {rank} {(L)}$ чи $\operatorname {rk} {(L)}.$

Ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Основна теорема лінійної алгебри

Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:

Назва	Визначення	Простір в якому існує	Розмірність
простір стовпців чи образ	im(A) чи range(A)	$\mathbb {R} ^{m}$	r
нульпростір чи ядро	ker(A) чи null(A)	$\mathbb {R} ^{n}$	n — r
простір рядків чи кообраз(Coimage)	im(AT) чи range(AT)	$\mathbb {R} ^{n}$	r
лівий нульпростір чи коядро	ker(AT) чи null(AT)	$\mathbb {R} ^{m}$	m — r

• В $\mathbb {R} ^{n}\;\;\ker {(A)}=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }$, тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
• В $\mathbb {R} ^{m}\;\;\ker {(A^{T})}=(\mathrm {im} (A))^{\perp }$, тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.

Див. також

• Проєкційна матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)