Формально K-функція визначається так
K
(
z
)
=
(
2
π
)
−
z
−
1
2
exp
[
C
z
2
+
∫
0
z
−
1
ln
Γ
(
t
+
1
)
d
t
]
.
{\displaystyle K(z)=(2\pi )^{-{\frac {z-1}{2}}}\exp \left[{C_{z}^{2}}+\int _{0}^{z-1}\ln \Gamma (t+1)\,dt\right].}
Також можна записати її у простішій формі:
K
(
z
)
=
exp
[
ζ
′
(
−
1
,
z
)
−
ζ
′
(
−
1
)
]
,
{\displaystyle K(z)=\exp {\bigl [}\zeta '(-1,z)-\zeta '(-1){\bigr ]},}
де
ζ
′
(
z
)
{\displaystyle \zeta '(z)}
похідні дзета-функції Рімана ,
ζ
(
a
,
z
)
{\displaystyle \zeta (a,z)}
дзета-функція Гурвіца і
ζ
′
(
a
,
z
)
=
d
e
f
∂
ζ
(
s
,
z
)
∂
s
|
s
=
a
.
{\displaystyle \zeta '(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left.{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right|_{s=a}.}
Інша форма запису через полігамма-функцію [ 1]
K
(
z
)
=
exp
[
ψ
(
−
2
)
(
z
)
+
z
2
−
z
2
−
z
2
ln
2
π
]
.
{\displaystyle K(z)=\exp \left[\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln 2\pi \right].}
Або, використовуючи узагальнену полігамма-функцію [en] [ 2]
K
(
z
)
=
A
exp
[
ψ
(
−
2
,
z
)
+
z
2
−
z
2
]
,
{\displaystyle K(z)=A\exp \left[\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\right],}
де
A
{\displaystyle A}
стала Глейшера .
Нехай
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
∫
α
α
+
1
ln
K
(
x
)
d
x
−
∫
0
1
ln
K
(
x
)
d
x
=
1
2
α
2
(
ln
α
−
1
2
)
.
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx-\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\frac {1}{2}}\right).}
Нехай
f
(
α
)
=
∫
α
α
+
1
ln
K
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx.}
Диференціюючи цю рівність по
α
{\displaystyle \alpha }
f
′
(
α
)
=
ln
K
(
α
+
1
)
−
ln
K
(
α
)
=
ln
K
(
α
+
1
)
K
(
α
)
.
{\displaystyle f'(\alpha )=\ln K(\alpha +1)-\ln K(\alpha )=\ln {\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}.}
За означенням K-функції можна записати
f
′
(
α
)
=
α
ln
α
.
{\displaystyle f'(\alpha )=\alpha \ln \alpha .}
Також
f
(
α
)
=
1
2
α
2
(
ln
α
−
1
2
)
+
C
.
{\displaystyle f(\alpha )={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\frac {1}{2}}\right)+C.}
Покладемо
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
∫
0
1
ln
K
(
x
)
d
x
=
lim
t
→
0
[
1
2
t
2
(
ln
t
−
1
2
)
]
+
C
=
C
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx=\lim _{t\to 0}\left[{\frac {1}{2}}t^{2}\left(\ln t-{\frac {1}{2}}\right)\right]+C=C.}
Тепер можна зробити висновок про рівність, наведену вище.
K-функція тісно пов'язана з гамма-функцією та G-функцією Барнса [en] натуральних
n
{\displaystyle n}
K
(
n
)
=
(
Γ
(
n
)
)
n
−
1
G
(
n
)
.
{\displaystyle K(n)={\frac {{\bigl (}\Gamma (n){\bigr )}^{n-1}}{G(n)}}.}
Можна записати цю рівність більш просто
K
(
n
+
1
)
=
1
1
⋅
2
2
⋅
3
3
⋯
n
n
.
{\displaystyle K(n+1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}.}
Значення функції при натуральних аргументах:
1
,
4
,
108
,
27648
,
86400000
,
4031078400000
,
3319766398771200000
,
…
{\displaystyle 1,\,4,\,108,\,27648,\,86400000,\,4031078400000,\,3319766398771200000,\ldots \quad }
A002109 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел , OEIS ). 
![{\displaystyle K(z)=(2\pi )^{-{\frac {z-1}{2}}}\exp \left[{C_{z}^{2}}+\int _{0}^{z-1}\ln \Gamma (t+1)\,dt\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f1778c512aaee8089a4c38b8b43b80a4d4ba1c)
![{\displaystyle K(z)=\exp {\bigl [}\zeta '(-1,z)-\zeta '(-1){\bigr ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24c3093d9145f8c5534ff49c5058fa550903558)
![{\displaystyle K(z)=\exp \left[\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln 2\pi \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9ea25ca8545788b7b6bb2d180bd5243b867fbf)
![{\displaystyle K(z)=A\exp \left[\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ee07674e99d3185b698ab9027fe4cf98ef294e)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx=\lim _{t\to 0}\left[{\frac {1}{2}}t^{2}\left(\ln t-{\frac {1}{2}}\right)\right]+C=C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ba5ea48f81d04dbd16ec4beff641796e2e53ec)
