Група вузла

Група вузла — характеристика вузла, що визначається як фундаментальна група його доповнення.

Визначення

Нехай $K\subset \mathbb {R} ^{3}$ — вузол. Тоді група вузла вузла визначається як фундаментальна група $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)$.

Коментар

За іншими домовленостями вузол розглядається як вкладення кола в 3-сферу. В цьому випадку групу вузла визначають як фундаментальну групу його доповнення в $S^{3}$. Обидва визначення дають ізоморфні групи.

Властивості

• Два еквівалентних вузли мають ізоморфні групи вузлів, так що група вузла є інваріантом вузла і може бути використана для встановлення нееквівалентності пари вузлів. Однак два нееквівалентних вузли можуть мати ізоморфні групи вузлів (див. приклад нижче).

• Абелізація вузла завжди ізоморфна нескінченній циклічній групі $\mathbb {Z}$. Це випливає з того, що абелізація збігається з першою групою гомологій, яку легко обчислити.

• Групу вузлів (а також фундаментальну групу орієнтованих зачеплень у загальному випадку) можна обчислити за допомогою порівняно простих алгоритмів, використовуючи подання Віртингера.

Приклади

• Група тривіального вузла ізоморфна $\mathbb {Z}$.
  • Зворотне також істинне.
• Група трилисника ізоморфна групі кіс $B^{3}$, ця група має задання:

  $\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle$ або $\langle a,b\mid aba=bab\rangle$.

• Група $(p,q)$-торичного вузла має задання:

  $\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle$.

• Група вісімки має задання:

  $\langle x,y\mid yxy^{-1}xy=xyx^{-1}yx\rangle$.

• Прямий вузол і бабин вузол мають ізоморфні групи вузлів, але ці вузли не еквівалентні.

Див. також

• Група зачеплення

Література

• Група вузла — стаття з Математичної енциклопедії
• Болтянский В.Г.,Ефремович В.А. Наглядная топология. — М. : Наука, 1982. — 160 с.