Додавання

Додавання (зазвичай позначається знаком плюс +) — одна з чотирьох основних операцій арифметики, іншими трьома є віднімання, множення та ділення. Додавання двох цілих чисел дає в результаті суму цих значень. Приклад на зображенні поруч показує два стовпці з трьома та двома яблуками, тобто п'ятьма яблуками. Це спостереження еквівалентно математичному виразу «3 + 2 = 5» (тобто «3 плюс 2 дорівнює 5»).

3 + 2 = 5, задача з яблуками, популярна в підручниках

Окрім підрахунку елементів, додавання також можна визначити та виконати без посилання на конкретні об'єкти, використовуючи натомість абстракції, які називаються числами, наприклад цілі числа, дійсні числа та комплексні числа. Додавання належить до арифметики, розділу математики. В алгебрі, іншому розділі математики, додавання також можна виконувати на абстрактних об'єктах, таких як вектори, матриці, підпростори та підгрупи.

Додавання має кілька важливих властивостей. Воно комутативне, тобто порядок операндів не має значення, і воно асоціативне, тобто коли додається більше двох чисел, порядок додавання не має значення. Процес повторного додавання 1 еквівалентний підрахунку (див. функція наступника). Додавання 0 не змінює числа. Додавання також підкоряється правилам, пов'язаним із спорідненими операціями, такими як віднімання та множення.

Виконання додавання є однією з найпростіших числових операцій. Додавання малих чисел доступне навіть дітям ясельного віку; найпростіше завдання, 1 + 1, можуть виконувати немовлята віком від п'яти місяців і навіть деякі представники інших видів тварин. У початковій школі учнів вчать додавати числа в десятковій системі, починаючи з однозначних чисел і поступово переходячи до більш складних завдань. Механічні допоміжні засоби варіюються від стародавніх рахівниць до сучасних комп'ютерів, де дослідження найбільш ефективних реалізацій додавання все ще тривають.

Позначення та термінологія

Знак плюс

Додавання записується з використанням знаку плюс «+» між доданками; така форма запису називається інфіксною нотацією. Результат записується з використанням знаку рівності. Наприклад,

$1+2=3$ («один плюс два дорівнює три»)

$5+4+2=11$ (див. «асоціативність» нижче)

$3+3+3+3=12$ (див. «множення» нижче)

Додавання у стовпчик — числа в стовпчику додаються, а сума записується під знаком підкреслення.

Також існують ситуації, коли «зрозуміло», що відбувається додавання, навіть якщо символ додавання не вказано:

• ціле число, за яким відразу йде дріб, вказує на суму цих двох виразів і називається змішаним числом. Наприклад,$$3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3.5.$$ Це позначення може викликати плутанину, оскільки в більшості інших контекстів, написання величин поряд означає множення.

Сума ряду чисел виражається за допомогою сигма-нотації, яка компактно позначає ітерацію. Наприклад,

$\sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.$

Доданки

Числа або об'єкти, які потрібно додати в загальній операції додавання, разом називаються доданками; в англійські мові — англ. terms, англ. addends або англ. summands; ця термінологія поширюється на додавання кількох доданків. Доданки слід відрізняти від множників, які є операндами множення. Деякі автори називають перший доданок англ. augend. Насправді в епоху Відродження, багато авторів взагалі не вважали перший доданок «доданком». У наш час, завдяки комутативній властивості додавання, термін англ. augend використовується рідко, і обидва члени зазвичай називаються англ. addends.

Уся наведена вище англійська термінологія походить від латинської мови. Англійські слова «addition» і «add» походять від латинського дієслова addere, яке в свою чергу складається з ad і dare («давати»), від слова з праіндоєвропейським коренем *deh₃- («давати»); таким чином англ. add означає давати. Використання суфікса герундива -nd призводить до англ. addend («те, що потрібно додати»). Так само від augere («збільшувати»), утворюється augend («те, що потрібно збільшити»).

Ілюстрація, перемальована з The Art of Nombryng, одного з перших англійських арифметичних текстів, 15 століття.

англ. Sum та англ. summand походять від латинського іменника summa («найвищий, вершина») та пов'язаного з ним дієслова summare. Це доречно не лише тому, що сума двох додатних чисел більша за будь-яке з них, а й тому, що стародавні греки та римляни зазвичай записували додавання знизу вгору, на відміну від сучасної практики написання додавання зверху вниз, так що сума була буквально зверху доданків. Addere та summare датуються принаймні до Боеція, якщо не більш ранніх римських письменників, таких як Вітрувій і Фронтін; Боецій також використовував кілька інших термінів для операції додавання. Пізніші терміни середньоанглійської мови adden і adding були популяризовані Чосером.

Знак плюс «+» (Юнікод: U+002B; ASCII: +) є абревіатурою латинського слова et, що означає «і». Він зустрічається в математичних роботах, датованих принаймні 1489 роком.

Інтерпретації

Додавання використовується для моделювання багатьох фізичних процесів. Навіть для простого випадку додавання натуральних чисел існує багато різних інтерпретацій і навіть більше способів візуального представлення.

Об'єднання множин

Одна множина містить 3 фігури, інша — 2. Загальна кількість фігур становить 5, що є наслідком додавання об'єктів із двох множин (3 + 2 = 5).

Мабуть, найпростішою інтерпретацією додавання є об'єднання множин:

• Коли дві або більше непересічних колекцій об'єднуються в одну колекцію, кількість об'єктів в об'єднаній колекції є сумою кількості об'єктів у вихідних колекціях.

Цей варіант інтерпретації легко візуалізувати, з мінімальним ризиком двозначності. Він також використовується у вищій математиці (див. більш строге визначення, натхненне цією інтерпретацією: § Натуральні числа). Однак неочевидно, як цю інтерпретацію додавання можна поширити на дроби та від'ємні числа.

Один із можливих підходів полягає в тому, щоб розглянути колекції об'єктів, які можна легко розділити на частини, наприклад торти або, навіть краще, стрижні, які можна розділити на сегменти. Замість того, щоб просто поєднувати колекції сегментів, стрижні можна з'єднати кінцями, що ілюструє інше розуміння додавання: додаються не стрижні, а їх довжини.

Додавання на числовій прямій

Візуалізація додавання 2 + 4 = 6 на числовій прямій. Переміщення на 2 і потім на 4 — це те ж саме, що і переміщення на 6.

Ще один варіант візуалізації додавання 2 + 4 = 6 на числовій прямій. Переміщення на 4 — це те ж саме, що і чотири переміщення по 1.

Інша інтерпретація трактує додавання як переміщення на величину, що додається:

Коли початкова позиція переміщується на додану довжину, отримана нова позиція дорівнює сумі вихідної позиції та довжини, доданої до неї.

Суму a + b можна інтерпретувати як бінарну операцію об'єднання a і b в алгебраїчному сенсі, також її можна інтерпретувати як додавання b одиниць до числа a. В останній інтерпретації частини суми a + b мають асиметричні ролі, а операція a + b розглядається як застосування унарної операції +b до числа a. Замість того, щоб називати обидва числа a і b доданками, більш доречним було б називати a збільшуваним числом (англ. augend) в цьому випадку, оскільки a має пасивну роль. Цей підхід також може бути корисним при обговоренні віднімання, адже кожна унарна операція додавання має зворотну унарну операцію віднімання і навпаки.

Властивості

Комутативність

Візуалізація 4 + 2 = 2 + 4 за допомогою блоків

Додавання є комутативним: перестановка доданків не змінює суму. У символьному записі: якщо a і b — будь-які два числа, то

a + b = b + a.

Комутативність додавання відома під назвою «комутативний закон додавання» або «комутативна властивість додавання». Деякі інші бінарні операції є комутативними, наприклад множення, але багато інших, наприклад віднімання та ділення, не є комутативними.

Асоціативність

Візуалізація 2+(1+3) = (2+1)+3 за допомогою стрижнів з сегментами

Додавання асоціативне: при додаванні трьох або більше чисел черговість не має значення.

Наприклад, сума a + b + c означає (a + b) + c або a + (b + c)? Властивість асоціативності додавання говорить нам, що вибір одного із запропонованих варіантів не має значення. Для будь-яких чисел a, b, і c справедлива рівність (a + b) + c = a + (b + c). Наприклад, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Нейтральний елемент

Візуалізація 5 + 0 = 5 за допомогою сумок з крапками

Якщо додати нуль до будь-якого числа, то значення цього числа не зміниться; нуль — це нейтральний елемент для операції додавання. запис у вигляді символів: для будь-якого a,

a + 0 = 0 + a = a.

Цей закон вперше описав Брамагупта 628 року у Виправленому трактаті Брахми. Він створив цей закон у вигляді трьох окремих законів: для негативного, позитивного та нульового числа a, і для опису цих законів він використовував слова, а не алгебраїчні символи. Пізніше індійські математики уточнили поняття; близько 840 року Махавіра написав, що «нуль стає таким самим, як те, що додається до нього», що відповідало запису 0 + a = a. У 12 столітті Бхаскара II написав: «Якщо додати нічого або відняти нічого, то кількість, позитивна чи негативна, залишається такою ж, як і була», що відповідає запису.

Наступне число

Додавання одиниці також відіграє особливу роль для цілих чисел: для будь-якого цілого числа a ціле число (a + 1) — це найменше число, на одиницю більше, ніж a, також відоме як наступне число за числом a. Наприклад, 3 — це наступне число за числом 2, а 7 — це наступне число за числом 6. З урахуванням цієї наступності, значення «a» + «b» можна розглядати, як $b$-те наступне за «а», таким чином, додавання можна визначити як ітеративне послідовне знаходження наступного числа. Наприклад, 6 + 2 буде 8, оскільки 8 йде після 7, яке йде після 6, отже, 8 — це друге наступне за 6.

Одиниці вимірювання

Щоб додавати фізичні величини, їх значення слід привести до однакових одиниць вимірювання. Наприклад, якщо додати 50 мілілітрів і 150 мілілітрів, вийде 200 мілілітрів. Однак, якщо до 5 футів додати 2 дюйми, в сумі вийде 62 дюйми, тому що 60 дюймів це те ж саме, що і 5 футів. З іншого боку, зазвичай немає сенсу додавати 3 метри і 4 квадратних метри, бо ці одиниці вимірювання неоднорідні; такі міркування є ключовими під час аналізу розмірності.

Виконання додавання

Вроджена здібність

Дослідження розвитку математичних здібностей, які розпочалися в 1980-х роках, розглядали феномен звикання: немовлята довше дивляться на ситуації, які є для них несподіваними. У своєму експерименті 1992 року Карен Вінн використовувала ляльки Міккі Мауса, з якими проводила різні маніпуляції за ширмою. Цей експеримент показав, що п'ятимісячні немовлята очікують, що 1 + 1 це 2, і дивуються, коли виявляється, що 1 + 1 це 1 або 3. Пізніше цей результат був підтверджений в інших лабораторіях з використанням різних методів. В іншому експерименті 1992 року з малюками старшого віку, від 18 до 35 місяців, використовувався розвиток моторних функцій дітей, що дозволяло їм діставати кульки для настільного тенісу з коробки; наймолодші хлопці добре справлялися з невеликим числом кульок, а старші навчилися рахувати суму до 5.

Навіть деякі тварини демонструють здатність додавати, особливо примати. Експеримент 1995 року був аналогічний до експерименту Вінн 1992 року, але замість ляльок використовували баклажани. З'ясувалося, що макаки-резуси і едипові тамарини показують подібні до людських немовлят здібності. Ба більше, один шимпанзе, після того, як його навчили розрізняти і розуміти сенс арабських цифр від 0 до 4, зміг рахувати суму двох чисел без будь-якої підготовки. Пізніше було з'ясовано, що індійські слони здатні оволодіти базовими арифметичними операціями.

Опанування додаванням дітьми

Зазвичай спочатку діти вчаться лічби. Якщо дати завдання, в якому потрібно об'єднати два предмети і три предмети, маленькі діти моделюють ситуацію за допомогою конкретних предметів, наприклад, лічать на пальцях або малюють. У міру набуття досвіду, вони вчать або відкривають для себе стратегію «підрахунку»: коли потрібно знайти, скільки буде два плюс три, то діти перелічують два числа, що йдуть після числа три, промовляючи: «три, чотири, п'ять» (зазвичай загинаючи пальці), і, в підсумку, отримуючи п'ять. Ця стратегія здається майже універсальною; діти можуть легко перейняти її у однолітків або вчителів. Більшість дітей самі доходять до цього. Маючи якийсь досвід, діти вчаться додавати швидше, використовуючи комутативність додавання, починаючи перераховувати числа від найбільшого числа в сумі, як в описаному вище випадку, починаючи з трьох і перелічуючи: «чотири, п'ять». Зрештою, діти починають використовувати будь-які факти про додавання (приклади додавання напам'ять), отримуючи їх або шляхом досвіду, або запам'ятовуючи їх. Коли одні факти осядуть в пам'яті, діти починають виводити невідомі факти з відомих. Наприклад, дитина, яка додає шість і сім, може знати, що 6 + 6 = 12, і тому 6 + 7 на один більше, тобто 13. До такого способу виведення приходять досить швидко і більшість учнів початкової школи покладаються на суміш всього того, що вони запам'ятали і того, що вони можуть вивести, що в підсумку дозволяє їм швидко додавати.

У різних країнах до вивчення цілих чисел і арифметики приступають у різному віці, переважно додавання вчать у закладах дошкільної освіти. При цьому у всьому світі до кінця першого року початкової школи школярі навчаються додавання.

Таблиця додавання

Дітям часто показують таблицю додавання пар чисел від 1 до 10 для кращого запам'ятовування. Знаючи цю таблицю, можна виконати будь-яке додавання.

1+	2+	3+	4+	5+	6+	7+	8+	9+	10+
1 + 0 = 1	2 + 0 = 2	3 + 0 = 3	4 + 0 = 4	5 + 0 = 5	6 + 0 = 6	7 + 0 = 7	8 + 0 = 8	9 + 0 = 9	10 + 0 = 10
1 + 1 = 2	2 + 1 = 3	3 + 1 = 4	4 + 1 = 5	5 + 1 = 6	6 + 1 = 7	7 + 1 = 8	8 + 1 = 9	9 + 1 = 10	10 + 1 = 11
1 + 2 = 3	2 + 2 = 4	3 + 2 = 5	4 + 2 = 6	5 + 2 = 7	6 + 2 = 8	7 + 2 = 9	8 + 2 = 10	9 + 2 = 11	10 + 2 = 12
1 + 3 = 4	2 + 3 = 5	3 + 3 = 6	4 + 3 = 7	5 + 3 = 8	6 + 3 = 9	7 + 3 = 10	8 + 3 = 11	9 + 3 = 12	10 + 3 = 13
1 + 4 = 5	2 + 4 = 6	3 + 4 = 7	4 + 4 = 8	5 + 4 = 9	6 + 4 = 10	7 + 4 = 11	8 + 4 = 12	9 + 4 = 13	10 + 4 = 14
1 + 5 = 6	2 + 5 = 7	3 + 5 = 8	4 + 5 = 9	5 + 5 = 10	6 + 5 = 11	7 + 5 = 12	8 + 5 = 13	9 + 5 = 14	10 + 5 = 15
1 + 6 = 7	2 + 6 = 8	3 + 6 = 9	4 + 6 = 10	5 + 6 = 11	6 + 6 = 12	7 + 6 = 13	8 + 6 = 14	9 + 6 = 15	10 + 6 = 16
1 + 7 = 8	2 + 7 = 9	3 + 7 = 10	4 + 7 = 11	5 + 7 = 12	6 + 7 = 13	7 + 7 = 14	8 + 7 = 15	9 + 7 = 16	10 + 7 = 17
1 + 8 = 9	2 + 8 = 10	3 + 8 = 11	4 + 8 = 12	5 + 8 = 13	6 + 8 = 14	7 + 8 = 15	8 + 8 = 16	9 + 8 = 17	10 + 8 = 18
1 + 9 = 10	2 + 9 = 11	3 + 9 = 12	4 + 9 = 13	5 + 9 = 14	6 + 9 = 15	7 + 9 = 16	8 + 9 = 17	9 + 9 = 18	10 + 9 = 19
1 + 10 = 11	2 + 10 = 12	3 + 10 = 13	4 + 10 = 14	5 + 10 = 15	6 + 10 = 16	7 + 10 = 17	8 + 10 = 18	9 + 10 = 19	10 + 10 = 20

Десяткова система

Для успішного додавання в десятковій системі потрібно пам'ятати або вміти швидко виводити 100 «фактів (прикладів) додавання» для однорозрядних чисел. Хтось може запам'ятати всі ці факти, заучуючи їх, але стратегії вивчення додавання шляхом використання шаблонів більш інформативні і для більшості людей більш ефективні:

• Комутативна властивість: використання шаблону a + b = b + a знижує кількість «фактів про додавання», які потрібно запам'ятати, зі 100 до 55.
• На один або на два більше: додавання 1 або 2 — це базова задача, і розв'язати її можна переліченням (підрахунком) або, зрештою, покладаючись на інтуїцію.
• Нуль: оскільки нуль є нейтральним елементом для операції додавання (адитивною одиницею), то додати нуль просто. Втім, під час вивчення арифметики деяким учням додавання здається процесом, у якому доданки завжди збільшуються; акцент на словесному формулюванні задачі може допомогти зрозуміти «винятковість» нуля.
• Подвоєння: додавання числа з самим собою пов'язане із задачею подвоєного (повторного) підрахунку і множенням. Факти про подвоєння є основою для багатьох пов'язаних з ними фактів, і учням їх відносно легко збагнути.
• Майже-подвоєння (суми, наближені до операції подвоєння): суму 6 + 7 = 13 можна швидко вивести з факту про подвоєння 6 + 6 = 12 і додавання одиниці, або факту 7 + 7 = 14 і віднімання одиниці.
• П'ять і десять: суми, які мають вигляд 5 + x і 10 + x, зазвичай запам'ятовуються рано і можуть бути використані для виведення інших фактів. Наприклад, результат суми 6 + 7 = 13 можна вивести з використання факту 5 + 7 = 12 додавши до цього одиницю.
• Добування десятки (добудовування до десяти): існує така стратегія, в якій 10 використовують як проміжний результат за наявності доданків 8 чи 9; наприклад, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.

У міру дорослішання учні запам'ятовують все більше фактів, і вчаться швидко виводити з них інші факти. Багато учнів не запам'ятовують усі факти, але можуть швидко вивести потрібний.

Перенесення

У стандартному алгоритмі додавання багаторозрядних чисел цифри, з яких складаються записи чисел, що додаються, розташовані одна під одною. Виконують додавання цифр окремо в кожному стовпчику, починаючи з правого. Якщо сума цифр у стовпчику перевищує 10, зайву цифру «переносять» у наступний стовпчик (лівіше). Наприклад, у сумі 27 + 59

  ¹
  27
+ 59
————
  86

7 + 9 = 16 і цифра 1 переноситься в наступний стовпчик. В альтернативному способі починають додавання з найбільш значущої цифри ліворуч; у цій стратегії перенесення виконується дещо грубіше, але швидше виходить приблизна сума. Існує багато інших методів переносу.

Додавання десяткових дробів

Спосіб додавання десяткових дробів є простою модифікацією додавання багаторозрядних чисел, описаного вище. При додаванні в стовпчик дроби розташовують таким чином, щоб коми перебували точно одна під одною. За необхідності, можна додавати нулі справа і зліва до більш короткого дробу (див. нуль, що замикає і провідні нулі), щоб зробити її завдовжки рівною довшому дробові. Отже, додавання проводять так само, як і в описаному вище способі додавання багаторозрядних чисел, тільки кому розташовують у відповіді точно там само, де її розташовують у доданках.

Наприклад, суму 45,1 + 4,34 можна обчислити таким чином:

  45,10
+ 04,34
———————
  49,44

Експоненціальний запис

В експоненціальному записі числа записують у вигляді $x=a\times 10^{b}$, де $a$ — мантиса і $10^{b}$ — характеристика числа. Щоб додати два числа, записані в експоненціальній формі, потрібно, щоб вони мали однакові характеристики.

Наприклад:

$2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}$

Додавання в інших системах числення

Додавання для чисел з іншими основами дуже нагадує додавання в десятковій системі. Як приклад можна розглянути додавання у двійковій системі числення. Додавання двох однорозрядних двійкових чисел з використанням перенесенням є доволі простим:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, переноситься 1 (оскільки 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹))

Сума двох знаків «1» дорівнює знакові «0», а 1 потрібно додати до наступного стовпчика. Ця ситуація аналогічна до того, що відбувається в додатковій системі при додаванні певних однохначних чисел; якщо результат дорівнює або перевищує значення основи системи числення (10), то цифри зліва збільшуються:

5 + 5 → 0, перенесення 1 (оскільки 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹))

7 + 9 → 6, перенесення 1 (оскільки 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹))

Ця операція відома під назвою «перенесення». Коли результат додавання перевершує діапазон значень і розряду, то потрібно «перенести» надлишок, поділений на основу системи (тобто на 10 у десятковій системі) вліво, додаючи його до значення в наступному розряді. Це пов'язано з тим, що значення в наступному розряді в $N$ разів більше (у $N$-ій системі числення), ніж значення в поточному розряді. Перенесення в двійковій системі числення працює так само, як і в десятковій системі:

  1 1 1 1 1    (перенесення)
    0 1 1 0 1
+   1 0 1 1 1
—————————————
  1 0 0 1 0 0 = 36

У цьому прикладі додаються два числа: 01101₂ (13₁₀) і 10111₂ (23₁₀). У верхньому рядку вказано наявність переносу. Починаємо додавати з правого стовпчика: 1 + 1 = 10₂. Тут 1 переноситься вліво, а 0 записується в нижньому рядку. Тепер додаються числа у другому стовпчику праворуч: 1 + 0 + 1 = 10₂; 1 переноситься, а 0 записується в нижньому рядку. Третій стовпчик: 1 + 1 + 1 = 11₂. В цьому випадку 1 переноситься в нижньому рядку. У підсумку отримуємо 100100₂ (або 36 в десятковій системі числення).

Комп'ютери

Додавання за допомогою інвертувального суматора.

Аналогові комп'ютери працюють безпосередньо з фізичними величинами, тому їх механізм додавання залежить від виду доданків. Механічний інтегратор може представляти два доданки у вигляді позицій ковзних блоків, в цьому випадку їх можна додати за допомогою усереднювального важеля. Якщо доданки представлені у вигляді швидкостей обертання двох валів, то їх можна додати за допомогою диференціалу. Гідравлічний суматор може додавати тиски у двох камерах, використовуючи другий закон Ньютона, щоб врівноважити сили на збірку поршнів. Найтиповіший випадок застосування аналогового комп'ютера — це додавання двох напруг (відносно заземлення); це можна грубо реалізувати за допомогою схеми з резисторами, а у вдосконаленій версії використовується операційний підсилювач.

Операція додавання є базовою у персональному комп'ютері. Продуктивність операції додавання і особливо обмеження, пов'язані з механізмом перенесення, впливають на загальну продуктивність комп'ютера.

Частина різницевої машини Чарльза Беббіджа містить механізми додавання і перенесення

Абак, який також називають рахівницею — це обчислювальний прилад, який використовували за багато століть до прийняття сучасної системи числення, і який все ще широко застосовують купці, торговці та клерки в Азії, Африці та на інших континентах; передбачають, що абак створений не пізніше 2700—2300 до н. е., тоді його використовували шумери.

1642 року Блез Паскаль винайшов механічний калькулятор, під назвою Паскаліна; це була перша операційна сумувальна машина. У цьому калькуляторі механізм перенесення здійснювався завдяки гравітації. Це був єдиний операційний калькулятор у 17 столітті і найперший автоматичний цифровий комп'ютер. Паскаліна була обмежена своїм механізмом переносу, який дозволяв крутити колеса лише в один бік і, таким чином, додавати. Щоб відняти, користувачеві потрібно було використати другий набір цифр, для представлення результату, та методи доповнення, які містили таку саму кількість кроків, що й додавання. Джованні де Полені продовжив справу Паскаля, побудувавши другий функціональний механічний калькулятор у 1709 році. Циферблат цього калькулятора був з дерева, і, одного разу встановлений, він міг перемножувати два числа між собою автоматично.

«Суматор» логічної схеми, яка додає два двійкові однорозрядні числа A та B, на вхід подається перенесення C_in, на виході біт суми S та значення переносу C_out.

Суматори виконують цілочисельне додавання в електронних цифрових обчислювальних машинах, зазвичай використовуючи бінарну арифметику. В найпростішій структурі використовується суматор хвильового переносу (англ. Ripple-carry adder) (вихідне перенесення попереднього в ланцюжку суматора є вхідним перенесенням для наступного суматора), це дозволяє виконувати додавання для багаторозрядних чисел. Невелике поліпшення представлено в суматорі з пропуском перенесення, який діє подібним до людської інтуїції чином; він не виконує всі перенесення в сумі 999 + 1, а обходить групу дев'яток і перескакує одразу до відповіді.

На практиці додавання можна виконувати через додавання по модулю два і операцію «І» в поєднанні з іншими бітовими операціями, як показано нижче. Обидві ці операції просто реалізувати в ланцюгах суматорів, які, в свою чергу, можна об'єднувати в складніші логічні операції. У сучасних цифрових комп'ютерах додавання цілих чисел є найшвидшою операцією, водночас воно має величезний вплив на загальну продуктивність комп'ютера, оскільки ціле додавання лежить в основі всіх операцій з рухомою комою, а також в таких завданнях, як генерація адрес під час доступу до пам'яті і вибірка команд під час визначеного порядку їх виконання. Щоб збільшити швидкість, сучасні комп'ютери обчислюють значення в разрядах паралельно; такі схеми називаються вибірка перенесення, передбачення перенесення і псевдоперенесення у суматорі Лінга. У більшості випадків реалізація додавання на комп'ютері є гібридом останніх трьох конструкцій. На відміну від паперу, додавання на комп'ютері часто змінює доданки. На стародавньому абаці та рахівниці під час виконання операції додавання обидва доданки знищувалися, залишалася лише сума. Вплив абака на математичне мислення був настільки великим, що в ранніх латинських текстах часто стверджувалося, що в процесі додавання «числа з числом» обидва числа зникають. Повертаючись до сучасності, зазначимо, що інструкція ADD мікропроцесора замінює значення першого доданку сумою, другий доданок залишається без змін. У мові програмування високого рівня оцінювання a + b не змінює ні a, ні b; якщо ставиться завдання записати суму в a, то це потрібно явно вказати, зазвичай з виразом a = a + b. У деяких мовах програмування, таких як C або C++ цей запис скорочується до a += b.

// Iterative Algorithm 
int add(int x, int y){
    int carry = 0;  
    while (y != 0){        
       carry = AND(x, y);   // Logical AND 
       x     = XOR(x, y);   // Logical XOR
       y     = carry << 1;  // left bitshift carry by one  
   } 
   return x;   
}
// Recursive Algorithm
int add(int x, int y){
   return x if (y == 0) else add(XOR(x, y) , AND(x, y) << 1); 
}

Якщо результат додавання занадто великий, то на комп'ютері відбувається арифметичне переповнення, яке призводить до неправильного результату. Непередбачуване арифметичне переповнення є доволі поширеною причиною програмних помилок. Такі помилки не завжди легко виявити і діагностувати, оскільки вони можуть проявитися при дуже великих вхідних наборах даних, які не часто застосовують у тестах.

Визначення для конкретних множин

Додавання натуральних чисел

Є два популярних способи визначення суми двох натуральних чисел a і b. Якщо натуральні числа визначають через потужність множини з кінцевою кількістю елементів, тоді доцільно дати таке визначення суми:

• Нехай N(S) — потужність множини S. Візьмемо дві множини A і B, що не перетинаються, причому N(A) = a і N(B) = b. Тоді a + b можна визначити як: $N(A\cup B)$.

Тут, $A\cup B$ — це об'єднання множин A і B. В альтернативній версії цього визначення множини A і B перекриваються і тоді за суму беруть їх диз'юнктне об'єднання, механізм, який дозволяє відокремлювати загальні елементи, внаслідок чого ці елементи враховуються двічі.

Інше відоме визначення рекурсивне:

• Нехай n⁺ — наступне за n натуральне число, наприклад 0⁺=1, 1⁺=2. Нехай a + 0 = a. Тоді загальна сума визначається рекурсивно: a + (b⁺) = (a + b)⁺. Звідси 1 + 1 = 1 + 0⁺ = (1 + 0)⁺ = 1⁺ = 2>.

В аксіоматиці Пеано вся арифметика побудована на додаванні одиниці, тобто наступного числа.

Щоб до натурального числа $\ m$ додати натуральне число $\ n$ потрібно збільшити число $\ m$ на одиницю $\ n$ разів.

Наприклад,

5 + 4 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 + 1 + 1 + 1 = 7 + 1 + 1 = 8 + 1 = 9

Додавання цілих чисел

Ілюстрація правил додавання додатних і від'ємних чисел.

Додати (−2) і 1, використовуючи лише додатні числа: (2 − 4) + (3 − 2) = 5 − 6.

Найпростіша концепція цілого числа полягає в тому, що ціле число додається з його абсолютної величини і знака (зазвичай, число є додатним або від'ємним). У множині цілих чисел існує число 0 (нуль) — це особливий випадок: нуль не є ані додатним, ані від'ємним числом. Додавання його до будь-якого іншого цілого числа не змінює цього числа. Відповідне визначення додавання має враховувати такі випадки:

• Нехай n — ціле число і |n| - його абсолютне значення. Нехай a та b — цілі числа. Якщо яке-небудь з чисел a або b дорівнює нулю, то вважаємо таке число нейтральним елементом (адитивною одиницею). Якщо a і b обидва додатні, тоді припустимо a + b = |a| + |b|. Додавання додатних цілих чисел аналогічне додаванню натуральних чисел. Якщо a і b обидва від'ємні, тоді a + b = −(|a|+|b|). Якщо a і b мають різні знаки, то a + b — це різниця між |a| і |b|, і знак перед цією різницею ставиться такий, який стояв перед доданком з найбільшим абсолютним значенням. Наприклад, розглянемо суму: -6 + 4 = -2; оскільки у чисел -6 і 4 різні знаки, то їх абсолютні значення віднімаються, і оскільки абсолютне значення від'ємного числа тут більше, ніж абсолютне значення додатного, то відповідь буде від'ємною.

Хоча це визначення може бути корисним для конкретних завдань, досить важко робити якісь загальні докази, оскільки потрібно розглядати дуже багато випадків.

Набагато зручнішою концепцією цілих чисел є побудова груп Гротендіка. Головна ідея полягає в тому, що кожне ціле число можна представити (не одним способом) як різницю двох натуральних чисел, тому ми можемо визначити ціле число, як різницю двох натуральних чисел. Тоді додавання визначається наступним чином через віднімання:

• Нехай є два цілих числа a − b і c − d, де a, b, c і d — натуральні числа, тоді (a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d).

Якщо другий доданок від'ємний, то для отримання суми потрібно зменшити перший доданок на відповідну кількість одиниць.

Наприклад,

5 + (-4) = 5 + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = 4 + (-1) + (-1) + (-1) = 3 + (-1) + (-1) = 2 + (-1) = 1

Додавання раціональних чисел

Для додавання раціональних чисел необхідно привести їх до спільного знаменника, а потім додати чисельники, взявши спільний знаменник за знаменник суми:

• Припустимо ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.$

Наприклад,

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}={\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}={\frac {5}{6}}$

${\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}$.

Додавання дробів з однаковими знаменниками набагато простіше; в цьому випадку можна просто додати чисельники, залишивши знаменник без зміни: ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}$наприклад ${\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}$.

Комутативність і асоціативність додавання раціональних чисел є наслідком законів цілочисельної арифметики. Більш строге і загальне визначення (див. у статті поле дробів).

Додавання ірраціональних чисел

Кожне ірраціональне число є границею певної послідовності раціональних наближень. Якщо ірраціональне число $a=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}$, а ірраціональне число $b=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}$, то

$\ a+b=\lim _{n\rightarrow \infty }(a_{n}+b_{n})$

Додавання комплексних чисел

При додаванні комплексних чисел окремо додаються дійсні і уявні частини

$z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2}).$

Додавання векторів

Для додавання векторів, визначених у векторному просторі з базисом потрібно додати їхні компоненти

$\ (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\;a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})$

Додавання матриць

Додавати можна матриці, які мають однакове число рядків і стовпчиків. Сума таких матриць має теж саме число рядків і стовпчиків, а кожен елемент матриці суми є сумою елементів матриць-доданків. Наприклад,

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

Додавання множин

Для множин операція об'єднання задовольнає вимогам комутативності і асоціативності, а тому є аналогом додавання.

Додавання елементів груп

В загальному випадку групові операції не мають властивості комутативності. Групи, для яких групова операція комутативна, називаються абелевими. Якщо групову операцію абелевої групи позначають плюсом, то таку групу називають адитивною.

Додавання в математичній логіці

В математичній логіці додаванню відповідає операція АБО. Результат цієї операції ІСТИНА якщо хоча б один із операндів має значення ІСТИНА.

Операція додавання в булевій алгебрі позначається символом $\lor$.

Логіка

У логіці додаванням називають коректну, просту форма аргументації:

A, отже, A або B.

або у логіко-операторній нотації:

$A\vdash A\lor B$.

Аргумент має одне вихідне припущення A. Із істинності A слідує що A або B є істиною.

Приклад аргументу у формі додавання:

Демократія є найкращою формою управління.

Отже, демократія є найкращою формою управління, або кожен повинен голосувати.

Див. також

• Чотири арифметичні дії
• Віднімання
• Множення
• Ділення
• Рахування китайськими паличками

Посилання

• Додавання // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.