Мрія першокурсника

Мрією першокурсника (англ. Freshman's dream) часто називають помилку $(x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}$, де $n$ є дійсним числом (зазвичай додатним цілим, більшим за $1$). Таку помилку можна зустріти в школі і у студентів початківців коли вони підносять до степеня суму дійсних чисел. Коли $n=2$, легко побачити чому це не так: $(x+y)^{2}$ можна обчислити як $x^{2}+2xy+y^{2}$ використовуючи дистрибутивність. Для більших додатних цілих значень $n$, правильний результат задається біномом Ньютона.

Ілюстрація мрії першокурсника у двох вимірах. Кожен бік квадрата завдовжки X+Y. Площа квадрата це сума площ жовтої області (=X²), зеленої області (=Y²) і білих областей (=2×X×Y).

Також «мрією першокурсника» іноді називають теорему, яка стверджує, що для простого числа $p$, якщо $x$ і $y$ це члени комутативне кільце характеристики $p$, тоді $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$. У цьому випадку, «помилка» насправді дає коректний результат, оскільки $p$ ділить всі біноміальні коефіцієнти окрім першого і останнього.

Приклади

• $(1+4)^{2}=5^{2}=25$, але $1^{2}+4^{2}=17$.
• ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ зазвичай не дорівнює ${\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|$. Наприклад, ${\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5$, що не дорівнює $3+4=7$. У цьому прикладі, помилка сталась із показником $n=1/2$.

Проста характеристика

$(x+y)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}{\pmod {p}}$, $x,y\in \mathbb {Z}$, $p$ — просте

Використаємо біном Ньютона:

$(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}+\underbrace {\sum _{k=1}^{p-1}{p \choose k}x^{k}y^{p-k}} _{\equiv 0{\pmod {p}}}$

З іншого боку, ${p \choose k}$ ділиться на $p$ для $1\leq k\leq p-1$, отже

$(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$.

$\Box \!\,$

Таким чином, з характеристикою $p$ мрія першокурсника стає чинною тотожністю. Цей результат демонструє, що піднесення до степеня $p$ породжує ендоморфізм, відомий як ендоморфізм Фробеніуса кільця.

Див. також

• Тест простоти