Сума трьох кубів

Сума трьох кубів — у математиці відкрита проблема про подаваність цілого числа у вигляді суми трьох кубів цілих (додатних або від'ємних) чисел.

Відповідне діофантове рівняння записується як $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n.$ Необхідна умова для подаваності числа $n$ у вигляді суми трьох кубів: $n$ не можна порівняти з 4 або 5 за модулем 9.

У варіантах задачі число треба подати як суму кубів тільки невід'ємних або раціональних чисел. Будь-яке ціле число подається у вигляді суми раціональних кубів, але невідомо, чи утворюють суми невід'ємних кубів множину з ненульовою асимптотичною щільністю.

Історія

Питання про подання довільного цілого числа у вигляді суми трьох кубів існує вже близько 200 років, перший відомий параметричний розв'язок у раціональних числах дав С. Рілі в 1825 році. Параметричні розв'язки в цілих числах знаходять для $n=2$ — в 1908 році О. С. Веребрюсов (учитель математики Феодосійської чоловічої гімназії, син С. І. Веребрюсова), для $n=1$ — в 1936 році Малер^[1].

Розв'язки

Необхідна умова для подаваності числа $n$ у вигляді суми трьох кубів: $n$ не порівнянне з 4 або 5 за модулем 9; оскільки куб будь-якого цілого числа за модулем 9 порівнянний з 0, 1 або -1, то сума трьох кубів не може дати 4 або 5 за модулем 9^[2]. Невідомо, чи є ця умова достатньою.

У 1992 році Роджер Гіт-Браун припустив, що будь-яке $n$ не порівнянне з 4 або 5 за модулем 9 має нескінченно багато подань у вигляді сум трьох кубів^[3].

Однак невідомо, чи розв'язується алгоритмічно подання чисел у вигляді суми трьох кубів, тобто, чи може алгоритм за скінченний час перевірити існування розв'язку для будь-якого заданого числа. Якщо гіпотеза Гіта-Брауна істинна, то задачу розв'язано, і алгоритм може правильно це зробити. Дослідження Гіта-Брауна також включає точніші припущення про те, як далеко алгоритму доведеться шукати, щоб знайти подання, а не просто визначити, чи існує воно^[3].

Випадок $n=33$ , подання якого у вигляді суми кубів довгий час не було відомим, використав Бьорн Пунен як вступний приклад в огляді нерозв'язних задач теорії чисел, з яких десята проблема Гільберта є найвідомішим прикладом^[4].

Невеликі числа

Для $n=0$ існують тільки тривіальні рішення

a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.

Нетривіальне подання 0 у вигляді суми трьох кубів дало б контрприклад до доведеної Леонардом Ейлером останньої теореми Ферма для степеня 3^[5]: оскільки один з трьох кубів матиме протилежний до двох інших чисел знак, то протилежне йому значення дорівнює сумі інших двох.

Для $n=1$ і $n=2$ існує нескінченне число сімейств розв'язків, наприклад (1 — Малер, 1936, 2 — Веребрюсов, 1908):

(9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1,

(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.

Існують інші подання та інші параметризовані сімейства подань для 1^[6]. Для 2 іншими відомими поданнями є^[6]^[7]

1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,

37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,

373\ 783\ 0626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.

Ці рівності можна використовувати для розкладання будь-якого куба або подвоєного куба на суму трьох кубів^[8]^[9].

Однак 1 і 2 є єдиними числами з поданнями, які можна параметризувати поліномами четвертого степеня^[10]. Навіть у випадку подання $n=3$ Луї Дж. Морделла написав 1953 року: «я нічого не знаю», крім невеликих розв'язків

4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3,

1^{3}+1^{3}+1^{3}=3,

і ще того, що всі три куби повинні бути рівні 1 за модулем 9^[11]^[12]. 17 вересня 2019 року Ендрю Букер і Ендрю Сазерленд, які знайшли подання для складних випадків 33 і 42 (див. нижче), опублікували ще одне подання 3, для знаходження якого було витрачено 4 млн годин в обчислювальній мережі Charity Engine^[13]^[14]:

569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^{3}=3,

Решта чисел

Від 1955 року, слідом за Морделлом, багато дослідників шукають розв'язки за допомогою комп'ютера^[15]^[16]^[7]^[17]^[18]^[19]^[20]^[1]^[21]^[22].

1954 року Міллер і Вуллетт знаходять подання для 69 чисел від 1 до 100. У 1963 році Гардінер, Лазарус, Штайн досліджують інтервал від 1 до 999, вони знаходять подання для багатьох чисел, крім 70 чисел, з яких 8 значень менші від 100. 1992 року Гіт-Браун та інші знайшли розв'язок для 39. У 1994 році Кояма, використовуючи сучасні комп'ютери, знаходить розв'язок для ще 16 чисел від 100 до 1000. У 1994 році Конн і Вазерштайн — 84 960. У 1995 році Бремнер — 75 і 600, Люкс — 110, 435, 478. У 1997 році Кояма та інші — 5 нових чисел від 100 до 1000. У 1999 році Елкіс — 30 і ще 10 нових чисел від 100 до 1000. У 2007 році Бек та інші — 52, 195, 588^[1]. У 2016 році Гейсман — 74, 606, 830, 966^[22].

Elsenhans і Jahnel у 2009 році^[21] використали метод Елкіса^[20], що застосовує редукування базису ґратки для пошуку всіх розв'язків діофантового рівняння $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ для додатних $n$ не більших від 1000 і для $\max {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}<10^{14}$ ^[21], потім Гейсман у 2016 році^[22] розширив пошук до $\max {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}<10^{15}$ .

Навесні 2019 року Ендрю Букер (Бристольський університет) розробив іншу стратегію пошуку з часом розрахунків пропорційним $\min {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}$ , а не їх максимуму, і знайшов подання 33 і 795^[23]^[24]^[25]:

33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3},

795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^{3}.

У вересні 2019 року Букер і Ендрю Сазерленд закрили інтервал до 100, знайшовши подання 42, для чого було витрачено 1,3 мільйона годин розрахунку глобальної обчислювальної мережі Charity Engine^[26]:

Пізніше, в цьому ж місяці, вони знайшли розклад числа 906^[27]:

906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^{3}.

А потім 165^[28]:

165=(-385\ 495\ 523\ 231\ 271\ 884)^{3}+383\ 344\ 975\ 542\ 639\ 445^{3}+98\ 422\ 560\ 467\ 622\ 814^{3}.

На 2019 рік знайдено подання всіх чисел до 100, не рівних 4 або 5 за модулем 9. Залишаються невідомими подання для 8 чисел від 100 до 1000: 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921, 975^[26].

Найменший нерозв'язаний випадок — $n=114$ ^[26].

Варіанти

Існує варіант задачі, в якому число необхідно подати у вигляді суми трьох кубів невід'ємних цілих чисел, ця задача пов'язана з проблемою Воринга. У XIX столітті Карл Густав Якоб Якобі і його колеги склали таблиці розв'язків цієї задачі^[29]. Передбачається, але не доведено, що подавані числа мають додатну асимптотичну щільність^[30]^[31], хоча Тревор Вулі показав, що таким чином можливо подати $\Omega (n^{0{,}917})$ чисел в інтервалі від $1$ до $n$ ^[32]^[33]^[34]. Щільність не перевищує $\Gamma (4/3)^{3}/6\approx 0{,}119$ ^[2].

Ще один варіант — з раціональними числами. Відомо, що будь-яке ціле число можна подати у вигляді суми трьох кубів раціональних чисел^[35]^[36].

Див. також

Примітки

↑ ^а ^б ^в Beck, Michael; Pine, Eric; Tarrant, Wayne; Yarbrough Jensen, Kim (2007), New integer representations as the sum of three cubes, Mathematics of Computation, 76 (259): 1683—1690, doi:10.1090/S0025-5718-07-01947-3, MR 2299795
↑ ^а ^б Davenport, H. (1939), On Waring's problem for cubes, Acta Mathematica, 71: 123—143, doi:10.1007/BF02547752, MR 0000026
↑ ^а ^б Heath-Brown, D. R. (1992), The density of zeros of forms for which weak approximation fails, Mathematics of Computation, 59 (200): 613—623, doi:10.2307/2153078, JSTOR 2153078, MR 1146835
↑ Poonen, Bjorn (2008), Undecidability in number theory (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 55 (3): 344—350, MR 2382821, архів оригіналу (PDF) за 6 березня 2021, процитовано 1 січня 2021
↑ Machis, Yu. Yu. (2007), On Euler's hypothetical proof, Mathematical Notes, 82 (3): 352—356, doi:10.1134/S0001434607090088, MR 2364600
↑ ^а ^б Avagyan, Armen; Dallakyan, Gurgen (2018), A new method in the problem of three cubes, arXiv:1802.06776, doi:10.13189/ujcmj.2017.050301 (неактивний 2019-08-16){{citation}}: Обслуговування CS1: Сторінки із неактивним DOI станом на серпень 2019 (посилання)
↑ ^а ^б Heath-Brown, D. R.; Lioen, W. M.; te Riele, H. J. J. (1993), On solving the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$ on a vector computer, Mathematics of Computation, 61 (203): 235—244, Bibcode:1993MaCom..61..235H, doi:10.2307/2152950, JSTOR 2152950, MR 1202610, архів оригіналу за 26 січня 2021, процитовано 1 січня 2021
↑ А. С. Веребрюсовъ (1908), Объ уравненіи $x 3 + y 3 + z 3 = 2 u 3$ , Математический сборник (Russian) , 26 (4): 622—624, JFM 39.0259.02
↑ Mahler, Kurt (1936), Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood, Journal of the London Mathematical Society, 11 (2): 136—138, doi:10.1112/jlms/s1-11.2.136, MR 1574761
↑ Mordell, L. J. (1942), On sums of three cubes, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 17 (3): 139—144, doi:10.1112/jlms/s1-17.3.139, MR 0007761
↑ Mordell, L. J. (1953), On the integer solutions of the equation $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=n$ , Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 28: 500—510, doi:10.1112/jlms/s1-28.4.500, MR 0056619
↑ The equality mod 9 of numbers whose cubes sum to 3 was credited to J. W. S. Cassels by Mordell, (1953), but its proof was not published until Cassels, J. W. S. (1985), A note on the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$ , Mathematics of Computation, 44 (169): 265—266, doi:10.2307/2007811, JSTOR 2007811, MR 0771049.
↑ Lu, Donna (18 вересня 2019). Mathematicians find a completely new way to write the number 3. New Scientist. Архів оригіналу за 30 вересня 2019. Процитовано 11 жовтня 2019.
↑ @markmcan (17 вересня 2019). Insanely huge sum-of-three cubes for 3 discovered – after 66 year search (Твіт) — через Твіттер.
↑ Miller, J. C. P.; Woollett, M. F. C. (1955), Solutions of the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$ , Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 30: 101—110, doi:10.1112/jlms/s1-30.1.101, MR 0067916
↑ Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B.; Stein, P. R. (1964), Solutions of the diophantine equation $x^{3}+y^{3}=z^{3}-d$ , Mathematics of Computation, 18 (87): 408—413, doi:10.2307/2003763, JSTOR 2003763, MR 0175843
↑ Conn, W.; Vaserstein, L. N. (1994), On sums of three integral cubes, The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992), Contemporary Mathematics, т. 166, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, с. 285—294, doi:10.1090/conm/166/01628, MR 1284068
↑ Bremner, Andrew (1995), On sums of three cubes, Number theory (Halifax, NS, 1994), CMS Conference Proceedings, т. 15, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, с. 87—91, MR 1353923
↑ Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio; Sekigawa, Hiroshi (1997), On searching for solutions of the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ , Mathematics of Computation, 66 (218): 841—851, doi:10.1090/S0025-5718-97-00830-2, MR 1401942
↑ ^а ^б Elkies, Noam D. (2000), Rational points near curves and small nonzero $|x^{3}-y^{2}|$ via lattice reduction, Algorithmic number theory (Leiden, 2000), Lecture Notes in Computer Science, т. 1838, Springer, Berlin, с. 33—63, arXiv:math/0005139, doi:10.1007/10722028_2, MR 1850598
↑ ^а ^б ^в Elsenhans, Andreas-Stephan; Jahnel, Jörg (2009), New sums of three cubes, Mathematics of Computation, 78 (266): 1227—1230, doi:10.1090/S0025-5718-08-02168-6, MR 2476583
↑ ^а ^б ^в Huisman, Sander G. (2016), Newer sums of three cubes, arXiv:1604.07746
↑ Kalai, Gil (9 березня 2019), Combinatorics and more, архів оригіналу за 25 листопада 2020, процитовано 1 січня 2021
↑ Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33 (PDF), University of Bristol, arXiv:1903.04284, архів оригіналу (PDF) за 14 лютого 2021, процитовано 1 січня 2021
↑ Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33, Research in Number Theory, т. 5:26, Springer, doi:10.1007/s40993-019-0162-1
↑ ^а ^б ^в Houston, Robin (6 вересня 2019), 42 is the answer to the question 'what is (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?', The Aperiodical, архів оригіналу за 15 березня 2022, процитовано 1 квітня 2022
↑ Andrew V. Sutherland personal webpage. Архів оригіналу за 20 жовтня 2020. Процитовано 20 вересня 2019.
↑ Andrew V. Sutherland personal webpage. Архів оригіналу за 20 жовтня 2020. Процитовано 30 вересня 2019.
↑ Dickson, Leonard Eugene (1920), History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis, Carnegie Institution of Washington, с. 717
↑ Balog, Antal; Brüdern, Jörg (1995), Sums of three cubes in three linked three-progressions, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1995 (466): 45—85, doi:10.1515/crll.1995.466.45, MR 1353314
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard (2006), On the density of sums of three cubes, у Hess, Florian; Pauli, Sebastian; Pohst, Michael (ред.), Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23-28, 2006, Proceedings, Lecture Notes in Computer Science, т. 4076, Berlin: Springer, с. 141—155, doi:10.1007/11792086_11, MR 2282921
↑ Wooley, Trevor D. (1995), Breaking classical convexity in Waring's problem: sums of cubes and quasi-diagonal behaviour, Inventiones Mathematicae, 122 (3): 421—451, doi:10.1007/BF01231451, hdl:2027.42/46588, MR 1359599
↑ Wooley, Trevor D. (2000), Sums of three cubes, Mathematika, 47 (1–2): 53–61 (2002), doi:10.1112/S0025579300015710, MR 1924487
↑ Wooley, Trevor D. (2015), Sums of three cubes, II, Acta Arithmetica, 170 (1): 73—100, doi:10.4064/aa170-1-6, MR 3373831
↑ Richmond, H. W. (1923), On analogues of Waring's problem for rational numbers, Proceedings of the London Mathematical Society, Second Series, 21: 401—409, doi:10.1112/plms/s2-21.1.401, MR 1575369
↑ Davenport, H.; Landau, E. (1969), On the representation of positive integers as sums of three cubes of positive rational numbers, Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau), New York: Plenum, с. 49—53, MR 0262198

Посилання

http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math04/matb0100.htm [Архівовано 6 травня 2021 у Wayback Machine.], Hisanori Mishima
threecubes [Архівовано 24 лютого 2021 у Wayback Machine.], Daniel J. Bernstein
Sums of three cubes, Mathpages
The Uncracked Problem with 33 [Архівовано 20 листопада 2020 у Wayback Machine.], Timothy Browning on Numberphile
42 is the new 33 [Архівовано 20 листопада 2020 у Wayback Machine.], Andrew Booker on Numberphile

[bpty-1] а ^б ^в Beck, Michael; Pine, Eric; Tarrant, Wayne; Yarbrough Jensen, Kim (2007), New integer representations as the sum of three cubes, Mathematics of Computation, 76 (259): 1683—1690, doi:10.1090/S0025-5718-07-01947-3, MR 2299795

[d-2] а ^б Davenport, H. (1939), On Waring's problem for cubes, Acta Mathematica, 71: 123—143, doi:10.1007/BF02547752, MR 0000026

[hb-3] а ^б Heath-Brown, D. R. (1992), The density of zeros of forms for which weak approximation fails, Mathematics of Computation, 59 (200): 613—623, doi:10.2307/2153078, JSTOR 2153078, MR 1146835

[p-4] Poonen, Bjorn (2008), Undecidability in number theory (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 55 (3): 344—350, MR 2382821, архів оригіналу (PDF) за 6 березня 2021, процитовано 1 січня 2021

[euler-5] Machis, Yu. Yu. (2007), On Euler's hypothetical proof, Mathematical Notes, 82 (3): 352—356, doi:10.1134/S0001434607090088, MR 2364600

[ad-6] а ^б Avagyan, Armen; Dallakyan, Gurgen (2018), A new method in the problem of three cubes, arXiv:1802.06776, doi:10.13189/ujcmj.2017.050301 (неактивний 2019-08-16){{citation}}: Обслуговування CS1: Сторінки із неактивним DOI станом на серпень 2019 (посилання)

[hlr-7] а ^б Heath-Brown, D. R.; Lioen, W. M.; te Riele, H. J. J. (1993), On solving the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$ on a vector computer, Mathematics of Computation, 61 (203): 235—244, Bibcode:1993MaCom..61..235H, doi:10.2307/2152950, JSTOR 2152950, MR 1202610, архів оригіналу за 26 січня 2021, процитовано 1 січня 2021

[w08-8] А. С. Веребрюсовъ (1908), Объ уравненіи $x 3 + y 3 + z 3 = 2 u 3$ , Математический сборник (Russian) , 26 (4): 622—624, JFM 39.0259.02

[m36-9] Mahler, Kurt (1936), Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood, Journal of the London Mathematical Society, 11 (2): 136—138, doi:10.1112/jlms/s1-11.2.136, MR 1574761

[m42-10] Mordell, L. J. (1942), On sums of three cubes, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 17 (3): 139—144, doi:10.1112/jlms/s1-17.3.139, MR 0007761

[m53-11] Mordell, L. J. (1953), On the integer solutions of the equation $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=n$ , Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 28: 500—510, doi:10.1112/jlms/s1-28.4.500, MR 0056619

[cassels-12] The equality mod 9 of numbers whose cubes sum to 3 was credited to J. W. S. Cassels by Mordell, (1953), but its proof was not published until Cassels, J. W. S. (1985), A note on the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$ , Mathematics of Computation, 44 (169): 265—266, doi:10.2307/2007811, JSTOR 2007811, MR 0771049.

[13] Lu, Donna (18 вересня 2019). Mathematicians find a completely new way to write the number 3. New Scientist. Архів оригіналу за 30 вересня 2019. Процитовано 11 жовтня 2019.

[mma-14] @markmcan (17 вересня 2019). Insanely huge sum-of-three cubes for 3 discovered – after 66 year search (Твіт) — через Твіттер.

[mw-15] Miller, J. C. P.; Woollett, M. F. C. (1955), Solutions of the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$ , Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 30: 101—110, doi:10.1112/jlms/s1-30.1.101, MR 0067916

[gls-16] Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B.; Stein, P. R. (1964), Solutions of the diophantine equation $x^{3}+y^{3}=z^{3}-d$ , Mathematics of Computation, 18 (87): 408—413, doi:10.2307/2003763, JSTOR 2003763, MR 0175843

[cv-17] Conn, W.; Vaserstein, L. N. (1994), On sums of three integral cubes, The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992), Contemporary Mathematics, т. 166, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, с. 285—294, doi:10.1090/conm/166/01628, MR 1284068

[b-18] Bremner, Andrew (1995), On sums of three cubes, Number theory (Halifax, NS, 1994), CMS Conference Proceedings, т. 15, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, с. 87—91, MR 1353923

[kts-19] Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio; Sekigawa, Hiroshi (1997), On searching for solutions of the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ , Mathematics of Computation, 66 (218): 841—851, doi:10.1090/S0025-5718-97-00830-2, MR 1401942

[e-20] а ^б Elkies, Noam D. (2000), Rational points near curves and small nonzero $|x^{3}-y^{2}|$ via lattice reduction, Algorithmic number theory (Leiden, 2000), Lecture Notes in Computer Science, т. 1838, Springer, Berlin, с. 33—63, arXiv:math/0005139, doi:10.1007/10722028_2, MR 1850598

[ej-21] а ^б ^в Elsenhans, Andreas-Stephan; Jahnel, Jörg (2009), New sums of three cubes, Mathematics of Computation, 78 (266): 1227—1230, doi:10.1090/S0025-5718-08-02168-6, MR 2476583

[h-22] а ^б ^в Huisman, Sander G. (2016), Newer sums of three cubes, arXiv:1604.07746

[k-23] Kalai, Gil (9 березня 2019), Combinatorics and more, архів оригіналу за 25 листопада 2020, процитовано 1 січня 2021

[arb-24] Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33 (PDF), University of Bristol, arXiv:1903.04284, архів оригіналу (PDF) за 14 лютого 2021, процитовано 1 січня 2021

[arbr-25] Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33, Research in Number Theory, т. 5:26, Springer, doi:10.1007/s40993-019-0162-1

[lue-26] а ^б ^в Houston, Robin (6 вересня 2019), 42 is the answer to the question 'what is (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?', The Aperiodical, архів оригіналу за 15 березня 2022, процитовано 1 квітня 2022

[27] Andrew V. Sutherland personal webpage. Архів оригіналу за 20 жовтня 2020. Процитовано 20 вересня 2019.

[28] Andrew V. Sutherland personal webpage. Архів оригіналу за 20 жовтня 2020. Процитовано 30 вересня 2019.

[dickson-29] Dickson, Leonard Eugene (1920), History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis, Carnegie Institution of Washington, с. 717

[bb-30] Balog, Antal; Brüdern, Jörg (1995), Sums of three cubes in three linked three-progressions, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1995 (466): 45—85, doi:10.1515/crll.1995.466.45, MR 1353314

[dhl-31] Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard (2006), On the density of sums of three cubes, у Hess, Florian; Pauli, Sebastian; Pohst, Michael (ред.), Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23-28, 2006, Proceedings, Lecture Notes in Computer Science, т. 4076, Berlin: Springer, с. 141—155, doi:10.1007/11792086_11, MR 2282921

[w1-32] Wooley, Trevor D. (1995), Breaking classical convexity in Waring's problem: sums of cubes and quasi-diagonal behaviour, Inventiones Mathematicae, 122 (3): 421—451, doi:10.1007/BF01231451, hdl:2027.42/46588, MR 1359599

[w2-33] Wooley, Trevor D. (2000), Sums of three cubes, Mathematika, 47 (1–2): 53–61 (2002), doi:10.1112/S0025579300015710, MR 1924487

[w3-34] Wooley, Trevor D. (2015), Sums of three cubes, II, Acta Arithmetica, 170 (1): 73—100, doi:10.4064/aa170-1-6, MR 3373831

[rich-35] Richmond, H. W. (1923), On analogues of Waring's problem for rational numbers, Proceedings of the London Mathematical Society, Second Series, 21: 401—409, doi:10.1112/plms/s2-21.1.401, MR 1575369

[dl-36] Davenport, H.; Landau, E. (1969), On the representation of positive integers as sums of three cubes of positive rational numbers, Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau), New York: Plenum, с. 49—53, MR 0262198

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]