Сума

Су́ма (лат. summa) — результат операції додавання.

Наприклад, у виразі

4 + 5 = 9

9 є сумою, а числа 4 і 5 називаються доданками.

Сума позначається знаком + (плюс).

Для позначення суми членів послідовності використовується символ $\sum$ (велика грецька літера сигма), наприклад

$\sum _{i=1}^{N}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots a_{N}$.

Якщо послідовність нескінченна, то така сума називається числовим рядом і позначається

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$.

В алгебраїчний вираз можуть входити члени, знаки яких наперед не визначені. Тобто для певних членів виразу виконується операція додавання, для інших — віднімання. Тому вираз загального вигляду, до якого входять операції додавання і віднімання називають алгебраїчною сумою. Наприклад,

$5-4=5+(-4)$

$a-b=a+(-b)$

Визначена сума

Часто для скорочення суму з n доданків a_k, a_k+1, …, a_N позначають великою грецькою буквою Σ (сигма):

$a_{k}+a_{k+1}+...+a_{N}=\sum _{i=k}^{N}a_{i}$

Це позначення називається визначеною (скінченню) сумою a_i по i від k до N.
Для зручності замість $\sum _{i=k}^{N}a_{i}$ інколи пишуть $\sum _{P(i)}^{}a_{i}$, де $P(i)\$ — деяке відношення для $i\$, таким чином $\sum _{P(i)}^{}a_{i}$ це скінченна сума всіх $a_{i}\$, де $i\in Z:P(i)\$
Властивості визначеної суми:

1. $\left(\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}\right)\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}b_{j}\right)=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{i}b_{j}\right)$
2. $\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{ij}=\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{ij}$
3. $\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}+\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}b_{i}$
4. $\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}{z\cdot a_{i}}=z\cdot \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}$

Приклади

1. Сума арифметичної прогресії:

   $\sum _{i=0}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}$

2. Сума геометричної прогресії:

   $\sum _{i=0}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}$

3. $\sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0$

Чому це так  

$\sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{n}{1\cdot {\frac {1}{p^{i}}}}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{n+1}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {\frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac {p-1}{p}}}={\frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right)$

1. $\sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1$

Чому це так  

Доведення:

$\sum _{i=0}^{n}ip^{i}=\sum _{i=1}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{i=1}^{n}ip^{i-1}=p\cdot \sum _{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=p\cdot \left(\sum _{i=0}^{n-1}{ip^{i}}+\sum _{i=0}^{n-1}p^{i}\right)=p\cdot \sum _{i=0}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p^{n}}{1-p}}\Rightarrow$

$\Rightarrow (1-p)\sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}$

1. $\sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1$

Чому це так,бо так  

Доведення:

$(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\sum _{i=0}^{n}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\left(n\cdot \sum _{i=0}^{n}p^{i}-\sum _{i=0}^{n}ip^{i}\right)+n+1=$

$=(p-1)\left(n\cdot {\frac {1-p^{n+1}}{1-p}}-{\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}\right)+n+1=$

$={\frac {np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=$

$={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}=\sum _{i=0}^{n}p^{i}$

1. • При $p=10\$ отримуємо $\sum _{i=0}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1$, а це послідовність рівнянь наступного вигляду:
     $1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5$

Невизначена сума

Невизначеною сумою a_i по i називається така функція f(i), яка позначається $\sum _{i}^{}a_{i}$, що $\forall if(i+1)-f(i)=a_{i+1}$.

Формула Ньютона-Лейбніца

Якщо знайдена невизначена сума $\sum _{i}^{}a_{i}=f(i)$, тоді $\sum _{i=k}^{N}a_{i}=f(N+1)-f(k)$. 

Етимологія

Латинське слово summa перекладається як «головний пункт», «сутність», «підсумок». З XV століття слово починає вживатися в сучасному сенсі, з'являється дієслово «підсумувати» (1489 рік)^{[джерело?]}.

Це слово проникло в багато сучасних мов: в українську, англійську, французьку та інші.

Спеціальний символ для позначення суми (S) першим ввів Ейлер в 1755 році. Як варіант, використовувалася грецька буква Сигма Σ. Пізніше зважаючи на зв'язок понять підсумовування та інтегрування, S також використовували для позначення операції інтегрування.

Див. також

• Добуток
• Контрольна сума